Logik Menge / Kartesisches Produkt / Relation

Aufrufe: 963     Aktiv: 30.10.2020 um 00:45

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Habe leider innerhalb der nunmehr 50 Seiten Mathe-Uni-Input folgendes leider nicht/ oder nicht zur Gänze verstanden und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir dazu helfen könntent:

Gegeben seien die Mengen :

A = {1,2,3,4}

B = {x,y}

1. Frage: Mengen -> Tupel

Kartesische Darstellung => A x B => {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), ... (4,x), (4,y)} stimmt das so ? (1) und ein Paar dieser kartesischen Darstellung ist ein Tupel (und in diesem Fall gebe es 2 * 4 = 8 Tupel? (2) Ist R c A x B dasselbe wie aRb (und ist dieses kartesische Produkt bereits eine aRb Relation? Wäre aRa, dasselbe wie {(1,1), (1,2), ... (4,3), (4,4)} ? (3)

2. Tupel zu Tupel

Gegeben sei der binäre Tupel B = {0,1}, was passiert wenn man B^(n) anwendet? ergebe dann B = {(0,1), (0,1) ... (bis) (0,1)} oder gebe es dafür eine andere Vorgehensweise, z.B. {0,0,0,1,1,0,1...,1}.

3. Halbordnung / Totalordnung

Allgemein müsse eine Halbordnung so wie eine Äquivalenzrelation folgende Eigenschaften erfüllen: reflexiv, symmetrisch, transitiv (immer im Bezug auf angegebene Rechen/ Darstellungsoperation?) sei nun z.B. die angegebene Form a|a (reflexiv), symmetrisch (a|b) und (b|c) sofern b=a= 1 und a|b und b|c (NR dh b = a *x ; c = b *y => c = a *b *y => x|z ). Sei dies jedoch nicht im vollen Umfang gegeben (egal welche Varianten man einsetzt, alles sei immer, und nicht theoretisch erfüllt?)  z.B. a = 5 , b = 3, dann handelt es sich nur um eine Halbordnung, sofern es allgemeingültig ist, sei es eine Totalordnung?

 

Ich bedanke mich im Voraus herzlich für eure Hilfe und wünsche euch noch einen schönen Abend / eine gute Nacht :)

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Hallo Marvin, ich versuche mal, ein bisschen aufzuräumen.

Das kartesische Produkt \(A\times B\) hast du richtig berechnet. Die Elemente davon sind Tupel, und in diesem Fall Paare, denn 'Paar' ist nur ein anderes Wort für '2-Tupel'. Es stimmt auch, dass \(A\times  B\) 8 Elemente hat, allgemein gilt \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\). 

Um zuerst alle Fragen zu Mengen abzuhandeln, mache ich mit Frage 2. weiter, bevor ich zu den Relationen in 1.(2) und 3. komme: \(B=\{0,1\}\) ist kein Tupel, sondern eine Menge. \(B^n\) beezeichnet das \(n\)-fache kartesische Produkt der Menge \(B\), also \(B^n=\underbrace{B\times B\times\ldots\times B}_{n\text{ Faktoren}}\). Das ist die Menge aller \(n\)-Tupel mit Elementen aus \(B\). Ein Element aus \(B^4\) wäre beispielsweise \((0,1,0,1)\).

Nun kommen wir zu Relationen. Eine Relation \(R\) zwischen zwei Mengen \(A\) und \(B\) ist formal eine Teilmenge von \(A\times B\), informell "verbindet" sie Elemente der Mengen miteinander, z.B. welche mit ähnlichen Eigenschaften. Ist \((a,b)\in R\) schreiben wir dafür auch kurz \(aRb\). Ein Beispiel: Seien die Mengen \(A,B\) gegeben wie in 1. Definiere die Relation \(R=\{(x,1),(x,2),(y,2),(y,3)\}\). Dann können wir schreiben \(xR1\) um auszudrücken, dass \(R\) den Wert \(x\) mit dem Wert \(1\) in Relation setzt. \(A\times B\) ist eine Teilmenge von sich selbst, also auch eine gültige Relation. Allerdings ist sie recht langweilig; sie setzt einfach alles mit allem in Relation.

Kommen wir zu deiner Frage 3. Nun betrachten wir Relationen von einer Menge \(X\) auf sich selbst. Solche Relationen können gewisse Eigenschaften haben. Einige wichtige sind

  • Reflexivität: Für alle \(x\in X\) gilt \(xRx\), also jedes Element steht mit sich selbst in Relation.
  • Symmetrie: Für alle \(x,y\in X\) gilt: Wenn \(xRy\), dann auch \(yRx\), also ein Element steht genau dann zu einem anderen in Relation, wenn sie andersherum auch in Relation stehen.
  • Antisymmetrie: Für alle \(x,y\in X\) gilt: Wenn \(xRy\) und \(yRx\), dann folgt \(x=y\). Das sagt im Prinzip, dass zwei verschiedene Elemente höchstens in einer Richtung in Relation stehen können. 
  • Transitivität: Für alle \(x,y,z\in X\) gilt: Wenn \(xRy\) und \(yRz\), dann auch \(xRz\). Die Relation wird also gewissermaßen über \(y\) weitergegeben.
  • Totalität: Für alle \(x,y\in X\) gilt \(xRy\) oder \(yRx\), also jedes Paar steht in mindestens einer Richtung in Relation.

Nun gibt es bestimmte Klassen von Relationen, die besonders wichtig sind und deshalb eigene Namen bekommen haben. 

Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt Äquivalenzrelation. Diese setzen Elemente in Relation, die in einem gewissen Sinn als gleich oder ähnlich anzusehen sind. Überzeuge dich davon, dass die Gleichheit natürlicher Zahlen eine Äquivalenzrelation ist; ebenso wie die Relation, die zwei natürliche Zahlen genau dann miteinander in Relation setzt, wenn sie die gleiche letzte Ziffer haben. Warum ist die Relation, die genau alle benachbarten ganzen Zahlen in Relation setzt, keine Äquivalenzrelation?

Dann gibt es noch Ordnungen, die Elemente miteinander vergleichen. Eine Halbordnung ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch, eine totale Ordnung ist zusätzlich noch total. Zum Beispiel ist die Teilbarkeitsrelation auf den natürlichen Zahlen, die du schon erwähnt hast, eine partielle Ordnung, aber keine totale Ordnung, denn es gilt weder \(2|3\) noch \(3|2\). Die \(\leq\)-Relation hingegen ist eine totale Ordnung. Überleg dir auch hier wieder, warum jede einzelne Bedingung dafür zutrifft. Warum ist \(<\) keine Ordnungsrelation? Ist die Teilbarkeitsrelation auf den ganzen Zahlen immer noch eine Halbordnung?

Ich hoffe, es ist mir gelungen, ein wenig Ordnung in diese Thematik zu bringen. Wenn du noch Fragen hast, scheue dich nicht, sie zu stellen.

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