Der Kern einer linearen Abbildung enthält stets den Nullvektor des Definitionsbereich. Aber achte auf den Unterschied zwischen "enthält" und "ist gleich", darauf kommt es bei Injektivität an. Und per Def. ist $\dim \{{\cal O}\}=0$, nicht 1.

Die Zahl 0 kann nicht immer im Kern liegen. Aus welcher Menge ist der Kern denn eine Teilmenge? Daraus sollte sich ergeben, dass der Nullvektor gemeint ist. Die Dimension des Kerns wird dann als 0 angegeben. Siehe Definition. Sollte da irgendwo stehen. 

Auch für die Surjektivität gibt es eine Bedingung. Sollte auch in deinen Unterlagen stehen. Beschäftige sich unbedingt mit deinen Unterlagen. Da steht alles drin, was du brauchst.