h=6m =1,80m+h_2. Du hast nun zwei rechtwinklige Dreiecke (x gesuchter Abstand) mit tan alpha = h_1/x und

tan 2 alpha = h_2/x.  das sind zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten, denn ta alpha und tan 2 alpha kann man ineinander Umrechnen (Additionstheoreme): Tan 2 alpha = 2 tan alpha /(1-tan^2 alpha) oder h_2/x = 2 h_1/x(1-(h_1/x)^2).

Gesucht ist die Länge \(l\) der Linie.

Die Linie in der Skizze von Marko zum Mast unterteilt das eine große Dreieck ja in 2 (rechtwinklige) kleinere Dreiecke. Wir wollen die Länge dieser Linie, weil das ja genau seine Entfernung ist. Da die Linie von Markos Augen bis zum Mast nicht an Höhe verliert ist das Stück vom unteren Mastende bis zum Auftreffpunkt der Linie genau \(1,80m\) hoch. Es bietet sich in den beiden kleinen Dreiecken z.B. an, den Tangens zu benutzen und ein Gleichungssystem aufzustellen: \[ I.) \tan(\alpha) = \frac{1,80m}{l} \\ II.) \tan(2\alpha) = \frac{6m-1,80m}{l} \]

Es gilt gibt eine Identiät für den Tangens auch Doppelwinkelformel genannt: \[\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1-{\tan(\alpha)}^2}\]

Und ja, ich weiß, dass das in der Schule normalerweise nicht thematisiert wird, leider sehe ich hier momentan keine andere Möglichkeit zur eindeutigen Lösung ohne diese Formel. Sie sollte zumindest im Tafelwerk stehen unter Trigonometrie. \[\Rightarrow I.) \tan(\alpha) = \frac{1,80m}{l} \\ II.) \frac{2\tan(\alpha)}{1-{\tan(\alpha)}^2} = \frac{4,20m}{l}\] 

Setzt man Gleichung 1 in Gleichung 2 ein, so ergibt sich: \[\Rightarrow \frac{2 \cdot \frac{1,80m}{l}}{1-\left(\frac{1,80m}{l}\right)^2} = \frac{4,20m}{l} \\ \Leftrightarrow \frac{3,60m}{l\left(1-\frac{3,24m^2}{l^2}\right)} = \frac{4,20m}{l} \\ \overset{\cdot l}{\Leftrightarrow} \frac{3,60m}{1-\frac{3,24m^2}{l^2}} = 4,20m \\ \overset{\mathrm{(erweitern)}}{\Leftrightarrow} \frac{3,60m \cdot l^2}{\left(1-\frac{3,24m^2}{l^2}\right) \cdot l^2} = 4,20m \\ \Leftrightarrow \frac{3,60m \cdot l^2}{l^2-3,24m^2} = 4,20m \\ \Leftrightarrow 3,60m \cdot l^2 = 4,20m \cdot (l^2-3,24m^2) = 4,20m \cdot l^2- 13,608m^3 \\ \overset{-4,20\cdot l^2}{\Leftrightarrow} -0,60m \cdot l^2 = - 13,608m^3 \\ \overset{:(-0,6m)}{\Leftrightarrow} l^2 = 22,68m^2 \\ \overset{\sqrt{...}}{\Leftrightarrow} l = 4,76m\]