Restklassenring (Z/nZ, +, ·) fuer n ∈ N≥2

Erste Frage Aufrufe: 89     Aktiv: 16.05.2021 um 11:53

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Ich versuche zu Zeigen, dass das Element [n − 1] multiplikativ invertierbar ist.

Das ganze habe ich nun einmal geschrieben als

(n-1) * (x) ≡ 1 mod n

Das Inverse ist (n-1)
Das habe ich mir hergeleitet durch setzen von z.B.  n = 7 

da 6*6= 36 mod 7 Rest 1
und
1 mod 7  Rest 1

Ich weiß auch das der ggt(a,n) = 1 bedeutet das es eine Inverse gibt.

Jedoch kann ich keinen eindeutigen Beweis heranführen.

(UNI Mathe 2)
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2 Antworten
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Dein Beispiel ist ja richtig, kannst Du daraus eine simple Vermutung herleiten, was das inverse Element ist? Versuche das nachzuweisen (Einzeiler).
Mit ggT haben wir hier nichts zu tun.
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Das ist ja der Punkt ich bin mir ziemlich sicher, dass das Inverse Element (n-1) ist.
Bisher habe wir immer auf diese weise Inverse bewiesen:

Ist ggT(a, n) = 1, so existieren x, y ∈ Z so dass ax + ny = 1 gilt.
Dies impliziert offensichtlich ax + ny ≡ 1 (mod n) und daher ax ≡ 1 (mod n). Sei nun b ∈ Z beliebig. Dann folgt
a(bx) ≡ (ax) b ≡ b (mod n)

aber das hilft mir hier wohl nicht weiter ...
  ─   user57fd43 16.05.2021 um 11:06

Deine Vemutung stimmt. Du kennst auch die Gleichung, die gelten muss. Dann setze ein und rechne nach.
  ─   mikn 16.05.2021 um 11:45

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Du brauchst hier die binomische Formel und elementare Rechenregeln der modularen Arithmetik. Es gilt $$(n-1)^2\equiv_n n^2-2n+1\equiv_n 0-0+1=1$$
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