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Alle Geraden einer gegebenen  Geradenschar ga liegen in einer Ebene E. Wie findet man die Punkte dieser Ebene, die nicht auf der Geradenschar liegen?

Auf den angehängten Bildern ist bei Nr. 7b) genau dieses Problem.
Die Lösung gibt an, dass diese Punkte durch die Gerade h mit dem selben Stützvektor A(2/0/2) wie gund einem Richtungsvektor (1/2/-1) beschrieben werden kann (natürlich ausgenommen (2/0/2))

Dieser Richtungsvektor entspricht den Vorfaktoren von a in ga

Wie kommt man darauf? 

Setzt man gund h gleich und versucht das dadurch enstehende LGS zu lösen erhält man keine Lösung für a (aber das war ja klar... h liegt ja nicht auf ga ),
Wie kommt man genau auf den Richtungsvektor von h? Ist das eine Regel, dass die Punkte, die nicht auf Geradenschar aber in  der Ebene der Geradenschar liegen, durch die Gerade mit dem selben Richtungsvektor und den Vorfaktoren von a aus der Geradenschar als Richtungsvektor beschrieben werden können?

Wenn das zu kompliziert war vielleicht einfach formuliert:
Wie erklärt man den Ansatz der Musterlösung im Detail?

Danke!

Hier eine GeoGebra Datei, die das Problem veranschaulicht: 
https://www.geogebra.org/m/kattwea2


(Die Aufgabe stammt aus dem Arbeitsheft Qualifikationsphase Elemente der Mathematik von Westermann S. 75)





EDIT vom 17.04.2022 um 18:27:

hier nochmal die Bilder:


gefragt

Schüler, Punkte: 12

 

Bilder leider nicht sichtbar.   ─   cauchy 17.04.2022 um 18:21

hab sie nochmal hochgeladen   ─   userc5f81f 17.04.2022 um 18:27
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1 Antwort
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Man sucht einen Richtungsvektor für $h$ der sich von allen möglichen Richtungsvektoren der Geradenschar $g_a$ unterscheidet. Man setzt z.B. für $a$ einen beliebigen Wert ein und ändert die Komponenten des Vektors wie folgt ab. In deiner Lösung hat man $a=1$ gesetzt und sowohl in der ersten Komponente die $-1$ als auch in der zweiten Komponente die $+2$ weggelassen. Dieser ist niemals ein Richtungsvektor irgendeiner Geraden auf der Geradenschar, denn egal welchen Wert man für $a$ einsetzt, diesen Vektor kann man nicht erhalten. Die Gerade $h$ mit diesem Richtungsvektor liegt aber trotzdem noch auf $E$ für $r=0$ und $ra=1$. Wichtig ist also in der Ebenengleichung $r\neq 1$ zu setzen. Man könnte auch analog mit einem anderen Wert für $a$ verfahren.
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