Alle Geraden einer gegebenen  Geradenschar g_a liegen in einer Ebene E. Wie findet man die Punkte dieser Ebene, die nicht auf der Geradenschar liegen?

Auf den angehängten Bildern ist bei Nr. 7b) genau dieses Problem.
Die Lösung gibt an, dass diese Punkte durch die Gerade h mit dem selben Stützvektor A(2/0/2) wie g_a und einem Richtungsvektor (1/2/-1) beschrieben werden kann (natürlich ausgenommen (2/0/2))

Dieser Richtungsvektor entspricht den Vorfaktoren von a in g_a

Wie kommt man darauf? 

Setzt man g_a und h gleich und versucht das dadurch enstehende LGS zu lösen erhält man keine Lösung für a (aber das war ja klar... h liegt ja nicht auf g_a ),
Wie kommt man genau auf den Richtungsvektor von h? Ist das eine Regel, dass die Punkte, die nicht auf Geradenschar aber in  der Ebene der Geradenschar liegen, durch die Gerade mit dem selben Richtungsvektor und den Vorfaktoren von a aus der Geradenschar als Richtungsvektor beschrieben werden können?

Wenn das zu kompliziert war vielleicht einfach formuliert:
Wie erklärt man den Ansatz der Musterlösung im Detail?

Danke!

Hier eine GeoGebra Datei, die das Problem veranschaulicht: 
https://www.geogebra.org/m/kattwea2


(Die Aufgabe stammt aus dem Arbeitsheft Qualifikationsphase Elemente der Mathematik von Westermann S. 75)

EDIT vom 17.04.2022 um 18:27:

hier nochmal die Bilder: