Parametrisierte Integrale

Aufrufe: 190     Aktiv: 15.09.2023 um 23:29

0

Moin,
ich komme bei dem roten Teil der Aufgabe nicht weiter.
Kann mir da jemand helfen...?


Danke!

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 14

 

Hast du schon Dinge probiert?   ─   cauchy 14.09.2023 um 14:19
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Man ist hier ja geneigt, von dem f die Stammfunktion F berechnen zu wollen. Das aber geht nicht - zwar gibt es dieses F, aber es gibt keine geschlossene Formel dafür. Da es sich hier aber um ein bestimmtes Integral handelt, kommt man trotzdem zu einem Ergebnis - auch ohne Stammfunktion.

Die folgende Rechnung ist recht wuchtig - vielleicht geht's auch einfacher.

Zunächst kann man substituieren: \( t=e^x \).
Dann ist
\( \displaystyle \int_0^1 f(t) dt \;=\; \int_0^1 \frac{t^2-1} {\ln t} dt
   \;=\; \int_{-\infty}^0 \frac{e^{2x}-1} {x} e^x dx
   \;=\; \int_{-\infty}^0  \frac{e^{3x}} x \;-\; \frac{e^{x}} x dx
\)
Leider kann man nun das Integral links nicht in zwei Integrale aufspalten, denn \( \displaystyle \int_{-\infty}^0 \frac{e^{3x}} x dx \) und \( \displaystyle \int_{-\infty}^0 \frac{e^{x}} x dx \) existieren nicht.
Da hilft der Limes:
\( \displaystyle \int_0^1 f(t) dt \;=\;\lim_{a\rightarrow 0, a<0 } \int_{-\infty}^a  \frac{e^{3x}} x \;-\; \frac{e^{x}} x dx
\;=\;\lim_{a\rightarrow 0, a<0 }\left( \int_{-\infty}^a  \frac{e^{3x}} x dx - \int_{-\infty}^a  \frac{e^{x}} x dx \right)
\;\;\;\;\;\;(1)
\)

Mit der Substitution \(x=y/3\) folgt
\( \displaystyle \int_{-\infty}^a  \frac{e^{3x}} x dx \;=\;
    \int_{-\infty}^{3a}  \frac{e^y} {y/3} \frac{dy}{3} \;=\; \int_{-\infty}^{3a}  \frac{e^y} y dy  \;\;\;\;\;\;(2) \)

Aus (1) und (2) folgt

\( \displaystyle \int_0^1 f(t) dt \;=\;
   \lim_{a\rightarrow 0, a<0 }\left( \int_{-\infty}^{3a}  \frac{e^x} x dx -  \int_{-\infty}^{a}  \frac{e^x} x dx\right) \;=\;
   \lim_{a\rightarrow 0, a<0 }\int_{a}^{3a}  \frac{e^x} x dx  \)

Entwickeln von \(e^x\) in eine Potenzreihe und gliedweises Integrieren ergibt:
\( \displaystyle \int  \frac{e^x} x dx \;=\; \ln |x| + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot n!} \)  

Damit folgt

\( \displaystyle \int_0^1 f(t) dt \;=\;
  \lim_{a\rightarrow 0, a<0 } \left(
    \ln(3a) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3a)^n}{n \cdot n!}
    - \ln(a) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n \cdot n!}
  \right) \;=\;
  \lim_{a\rightarrow 0, a<0 }( \ln|3a| - \ln|a|)  \;=\; \ln 3
\)
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.27K

 

Kommentar schreiben