Hallo,

nein das ist so nicht richtig. Du kannst nicht jeden Faktor einzeln betrachten. Du musst schon das ganze Produkt zusammen betrachten. Das siehst du an folgendem
$$ \binom{n+1}{n-1} = \frac {(n+1)!}{(n-1)!(n+1-(n-1))!} = \frac {(n+1)!} {(n-1)! 2!} = \frac {n \cdot (n+1)} 2 $$
Bei deinem Bruch hast du ein paar kleine Fehler gemacht. Da steht plötzlich ein Minus in der Klammer $(4n-1)$ (es sollte aber $(4n+1)$ sein). Damit ergibt der Zähler $1$. Beim Nenner hast du ein $n$ bei der $4$ verloren. Es ergibt eig insgesamt $8n^2 + 6n +1$. Also haben wir
$$ \binom{n+1}{n-1} \cdot \left( \frac 2 {4n+1} - \frac 1 {2n+1} \right) = \frac {n^2+n} 2 \cdot \frac 1 {8n^2+6n+1} = \frac {n^2 +n} {8n^2 + 6n + 1} $$
Dieser Bruch für sich geht gegen $\frac 1 8$. 
Da nun ein exponentieller Ausdruck (gemeint ist $\left(\sqrt[5]{2}\right)^n$) wesentlich stärker anwächst als eine rationale Funktion und der Bruch sogar irgendwann nahezu konstant wird, geht dein ganzer Ausdruck gegen $\infty$.

Grüße Christian