Quadratische funktion->Funktionsgleichung aufstellen mit drei punkten

Erste Frage Aufrufe: 214     Aktiv: 01.11.2023 um 21:43

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Der graph der quadratischen funktion f(x) verläuft durch die punkte: P1(-1|-2) P2 (-4,5|-0,25) und P3 (-2|1). Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung.

wie berechnet man das? Erklärung bitte!
Danke im Voraus<3
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Allgemeine Funktionsgleichung: f(x) = ax²+bx+c
P1: f(-1) = a(-1)²+b(-1)+c = -2
P2: f(-4.5) = a(-4.5)²+b(-4.5)+c = -0.25
P3: f(-2) = a(-2)²+b(-2)+c = 1

P1: a - b + c = -2
P2: 20.25a - 4.5b + c = -0.25
P3: 4a - 2b + c = 1

Hier kann man das Gaußverfahren anwenden, dann kommt man auf folgende Werte:

a = -1
b = -6
c = -7

Funktionsgleichung lautet also: 
f(x) =  -x²-6x-7
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@alphabeta Lies als Neuling den Kodex (link oben rechts), vorrechnen ist was anderes als helfen, und wir wollen hier helfen.   ─   mikn 01.11.2023 um 20:54

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Hier hilft die Lagrange-Interpolation weiter:
Seien \(x_1=-1, x_2=-4,5, x_3=-2\) die x-Koordinaten der gegebenen Punkte.
Seien \(y_1=-2, y_2=-0,25, y_3=1\) die y-Koordinaten der gegebenen Punkte.
Definiere Polynome
\(\displaystyle L_1(x) = \frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \)

\(\displaystyle L_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} \)

\(\displaystyle L_3(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \)

Wie leicht zu erkennen ist, ist \(L_i(x_i) = 1\), \(L_i(x_j) = 0\) für \(i\not=j\).
Daraus folgt: \(f(x)=y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x) + y_3 L_3(x) \) interpoliert die gegebenen Punkte.
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