Mehrdimensionale Vektorstrukturen (R^n+k) (wichtig)!

Erste Frage Aufrufe: 84     Aktiv: 16.11.2021 um 06:35

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Hi!

Wir sind gerade hierbei am verzweifeln. :(



Im Prinzip steht da ja das gleiche. Wie weist man das nach. Falls dies überhaupt der Sinn der Aufgabe ist. 
Wir wissen, die Antwort auf die Frage ist ja. Wissen aber nicht wie man dies formell richtig aufschreibt.
Freuen uns über jede Rückmeldung und Tipps!!!

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Student, Punkte: 37

 

Überlegt euch wodurch $\mathbb R^n$ bzw. $\mathbb R^k$ zu einem Vektorraum wird. Dann überlegt euch, warum das Produkt zweier Vektorräume ein Vektorraum ist.   ─   zest 16.11.2021 um 01:24
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Eines nach dem anderen. Definiert doch erst einmal \(+\) und \(\cdot\).

Danach könnt ihr die Vektorraumaxiome beweisen für euren Vektorraum \( (\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k, +, \cdot) \) (Vektorraum Axiome) oder ihr baut euch einen Isomorphismus \(\varphi: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{n+k} \) zum Vektorraum \((\mathbb{R}^{n+k}, +, \cdot)  \)

PS: Die Mengen \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k\) und \(\mathbb{R}^{n+k}\) sind nicht die selben. Ersteres ist ein Zweitupel aus einem \(n\)-Tupel  und einem \(k\)-Tupel und Letzteres ist ein \((n+k)\)-Tupel.
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Um so einen (Vektorraum)-Isomorphismus zu bilden, muss man bereits voraussetzen oder gezeigt haben, dass $\mathbb R^n\times \mathbb R^k$ ein Vektorraum ist. Isomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen (Morphismen) zwischen Objekten einer gemeinsamen Kategorie. Dies liefert aber keinen Beweis dafür, dass $\mathbb R^n\times \mathbb R^k$ ein Vektorraum ist. Bereits das Definieren einer linearen Abbildung setzt voraus, dass es sich bei Definitions- und Zielbereich um Vektorräume handelt.   ─   zest 16.11.2021 um 06:35

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