ZU a

Die allgemeine Tangentengleichung für eine Tangente an der Stelle \( a\) einer Funktion \(f(x)\) lautet:

\(t_a(x)=f'(a)*(x-a)+f(a)\)

Gegeben ist: \(f(x)=\sin(x)\) und \(a=\frac{\pi}{4}\)

Außerdem weißt du: \(f'(x)=\cos(x)\)

Jetzt musst du nur einsetzen:

\(t(x)=f'(\frac{\pi}{4})*(x-\frac{\pi}{4})+f(\frac{\pi}{4})=\)

\(=\cos(\frac{\pi}{4})*(x-\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4})=\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}*(x-\frac{\pi}{4})+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}*(x+1-\frac{\pi}{4})\approx 0.707x+0.152\)

ZU b

Eine waagerechte Tangente entsteht immer dann, wenn die Steigung der Funktion null ist, also bei Hoch-,Tief- und Sattelpunkten. \(\sin(x)\) hat bei \(\frac{\pi}{2}\) einen Hochpunkt und bei \(\frac{3\pi}{2}\) einen Tiefpunkt. Der Abstand beträgt \(\pi\). Da \(\sin(x)\) periodisch ist, treten also alle \(\pi\) Extremstellen (waagerechte Tangenten) auf. Wenn du nun eine Extremstelle kennst, zum Beispiel die bei \(\frac{\pi}{2}\), weißt du, dass bei \(\frac{\pi}{2}+\pi\) und bei \(\frac{\pi}{2}+2\pi\) usw. eine Extremstelle ist. (auch ins negative, also \(-\pi,-2\pi\) usw.). Allgemein ausgedrückt also bei \(\frac{\pi}{2}+k*\pi\), wobei \(k\) eine ganze Zahl ist. Das Finden der Extremstelle über die erste Ableitung ist ja in deinem Buch erläutert.