Grenzwertberechnung - L'Hospital

Aufrufe: 451     Aktiv: 31.01.2021 um 16:45
0
Hallo zusammen!

Ich stehe grade vor einem kleinen Logikproblem. Vielleicht könnt ihr mir dabei weiterhelfen.

ich würde gernde den Grenzwert von 

\( lim( x_{-> 1)}   \frac {\frac {PI} {2}-arcsin x} {\sqrt{1-x} } \) 

berechnen. Durch Einsetzen von 1 für x ergibt sich der Fall "0/0" und die Regel von L'Hopital kann angewendet werden. Der Arcsin von 1 ist  PI/2. Im nächsten Schritt habe ich dann Zähler und Nenner abgeleitet, wodurch sich dann 
\( \frac {\sqrt{1-x}} {\sqrt{1-x²}} \) ergibt.

Wenn ich jetzt hier wiederum für x = 1 einsetze von der gesuchten Grenzwertstelle, käme ja 0 heraus. Laut Taschenrechner soll dies aber \( \frac {\sqrt{2}} {2} \) sein. Habe ich jetzt einen Denkfehler gemacht? 

Wenn ich übrigens die Aufgabe zu Beginn in den Taschenrechner tippe, kommt undefiniert heraus.

Danke für eure Hilfe!
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 22

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Du hast einen Faktor \(2\) im Zähler vergessen, der vom Ableiten des Nenners kommt. Du hast recht, es kommt immer noch "\(\frac00\)" heraus, also müssen wir noch weiter umformen. Am einfachsten ist es, \(\sqrt{1-x^2}=\sqrt{(1-x)(1+x)})=\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}\) zu schreiben und dann zu kürzen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 11.27K

 
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Mir erschließt sich noch nicht ganz, wo die "2" herkommt. Das PI/2 fällt beim Ableiten ja weg, weil es eine additive Konstante ist. Wo ergibt sich dann noch die 2? :)   ─   php 31.01.2021 um 16:27
Beim Ableiten von \(\sqrt{1-x}=(1-x)^{1/2}\) ergibt sich \(-\frac12\cdot\frac1{\sqrt{1-x}}\). Die Ableitung von \(x^r\) ist ja \(rx^{r-1}\), du hast vergessen, den Exponenten noch als Vorfaktor dazuzuschreiben.   ─   stal 31.01.2021 um 16:31
Okay - Danke! Ich habe gerade gesehen, dass lt. Lösung einfach Wurzel 2 herauskommt. Kürzt sich diese 2 dann nochnmals?   ─   php 31.01.2021 um 16:42
Wenn du so rechnest, wie ich es in meiner Antwort gesagt habe, kommst du auf \(\frac2{\sqrt2}=\sqrt2\).   ─   stal 31.01.2021 um 16:44
Ja perfekt, habe es gefunden! Danke nochmals für deine Hilfe!   ─   php 31.01.2021 um 16:45

Kommentar schreiben