Umkehrfunktion

Aufrufe: 699     Aktiv: 30.06.2021 um 11:42
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Ich habe eine Frage bzgl. des Herleitens der Umkehrfunktion dieser Funktion.

\(f(x)=4+0,25*(x+4)^2-\frac{2}{x+5}\)

Das was mir Schwierigkeiten bereitet ist der Bruch\(\frac{2}{x+5}\). 

Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank!
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Student, Punkte: 14

 
Die Funktion ist nicht umkehrbar auf ihrer maximalen Definitionsmenge $\mathbb R\setminus\{-5\}$, da sie nicht injektiv ist. (Das kann man intuitiv sofort daran erkennen, dass sich $f$ für große $x$ wie eine Parabel verhält.) Möchtest du sie auf einem anderen Intervall invertieren? Dann müsstest du das dazusagen.   ─   stal 28.06.2021 um 12:39
Tut mir leid! Habe vergessen das Intervall anzugeben. Betrachte die Funktion auf dem Intervall \(I=]-5;6[\).   ─   jlkkm17 28.06.2021 um 13:45
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1 Antwort
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Es ist schwer, hier die Umkehrfunktion anzugeben. Wir müssen ja $$4+\frac14(y+4)^2-\frac2{y+5}=x$$ nach $y$ auflösen. Multiplikation mit den Nennern ergibt $$16(y+5)+(y+4)^2(y+5)-8=4x(y+5)\Longleftrightarrow y^3+13y^2+(72-4x)y+152-20x=0.$$ Jetzt gibt es ein Verfahren, wie man solche kubischen Gleichungen auflösen kann. Wenn du diese Aufgabe tatsächlich lösen sollst, dann musst du das kennen. Die Lösung wird allerdings sehr hässlich.
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Genau an der Stelle komme ich nicht weiter, und die cardanische Formel wurden nicht im Unterricht behandelt. Gibt es sonst keine andere Möglichkeit?   ─   jlkkm17 28.06.2021 um 16:24
Das hab ich mir schon fast gedacht, aber ich sehe leider keine andere Möglichkeit. Die Umkehrfunktion ist $$f^{-1}(x)=\frac{47-12x}{3\sqrt[3]{6\sqrt3\sqrt{-16x^3+200x^2-761x+974}-36x+37}}-\frac13\sqrt[3]{6\sqrt3\sqrt{-16x^3+200x^2-761x+974}-36x+37}-\frac{13}3,$$ und ich sehe da jetzt auch keine großen Vereinfachungsmöglichkeiten. Sicher, dass du tatsächlich die Umkehrfunktion berechnen sollst?   ─   stal 28.06.2021 um 16:49
Danke für diese Umformung! In der Übung sollen wir die Existenz der Umkehrfunktion anhand der Monotonie, Stetigkeit und Differenzierbarkeit und Krümmungsverhalten begründen. Ich bin mir nicht ob damit dann auch die tatsächliche Umkehrfunktion der Ausgangsfunktion \(f(x)\) gemeint ist.   ─   jlkkm17 30.06.2021 um 10:38
So etwas hab ich mir schon fast gedacht. Dazu musst du nicht die Umkehrfunktion explizit angeben. Zeige einfach, dass die Funktion auf dem angegebenen Intervall streng monoton steigt, indem du nachweist, dass $f'(x)>0$ in diesem Intervall. Dann folgt, dass $f$ dort umkehrbar ist.   ─   stal 30.06.2021 um 11:31
Das habe ich gemacht. Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe!!   ─   jlkkm17 30.06.2021 um 11:42

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