Implikation beweisen (Teilbarkeit durch drei)

Erste Frage Aufrufe: 66     Aktiv: 01.11.2021 um 21:51

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Wie kann man folgende Implikation beweisen: 3|(a²+b²) ==> 3|a und 3|b, wobei a,b natürliche Zahlen sind?
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Überlege, welche Reste modulo 3 eine Quadratzahl lassen kann. Rechne dann modulo 3 und betrachte die möglichen Fälle. Sind nicht viele.
Probier sonst mal Zahlen aus, um zu sehen was hier läuft.
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Ja, man sieht natürlich, dass wenn x² mod 3 = 0 ist, dass dann auch x mod 3 = 0 ist, aber es besteht ja dasselbe Problem, wie beim ursprünglichen Beweis. Nur das Muster zu erkennen ist ja leider noch kein vollständiger Beweis. Als Hilfestellung darf man in der Aufgabe diese Aussage benutzen:
Es seien z in Z (ganze Zahlen), n in Z/{0}, dann gilt:
ヨ!k in Z, ヨ!r in N₀:z=kn+r und 0 <= r < |n|

Leider verstehe ich weder, wie diese Formel hilfreich ist noch, wie man zeigen kann, dass für jede natürliche Zahl, für die x² mod 3 = 0 ist, dass dann auch x mod 3 = 0 gilt.
  ─   user4707a1 29.10.2021 um 20:22

$x^2 \mod 3 =0 \iff 3\,|\,x^2$. Dass daraus $3|x$ folgt, liegt daran, dass 3 eine Primzahl ist.
Ich hatte Dir eine Anleitung geschrieben. Fang mit dem ersten Satz der Anleitung an.
  ─   mikn 29.10.2021 um 21:17

Antwort auf die neue Frage: Die modulo-Rechnung basiert auf der Rechnung mit Restklassen. Bei modulo 3 gibt es nur 3 mögliche Reste, die man ausprobieren muss.   ─   mikn 01.11.2021 um 21:51

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