Hallo,

hier taucht komischerweise 2x ein Minus auf und verschwindet dann wieder. Beide male gehört es aber nicht dahin. 

Wir haben ein Produkt, also nehmen wir die Produktregel:

$$ \begin{array}{ccc} f(x) & = & u(x) \cdot v(x) \\ f'(x) & = & u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \end{array} $$

Mit 

$$ u(x) = e^{-x} \quad \text{und} \quad v(x) = x $$

erhalten wir die beiden Ableitungen

$$ u'(x) = -e^{-x} \quad \text{und} \quad v'(x) = 1 $$

Setzen wir das in die Produktregel ein, erhalten wir

$$ f'(x) = -e^{-x} \cdot x + e^{-x} \cdot 1 = -e^{-x} \cdot x + e^{-x} = e^{-x} (-x+1) = e^{-x} (1-x) $$

Das gleich Null gesetzt, ergibt

$$ \begin{array}{ccccl} & e^{-x}(1-x) & = & 0 & |\div e^{-x} \\ \Rightarrow & 1-x & = & 0 & | +x \\ \Rightarrow & 1 & = & x \end{array} $$

Wie du schon richtig schreibst, dürfen wir im ersten Schritt nur durch \( e^{-x} \) teilen, da dieser Fakor niemals Null wird.

Grüße Christian