Wie kann ich mir diese kryptische Formel merken?

Kurz (als "Spoiler"):

Die Partielle Integration folgt direkt aus der Kettenregel der Ableitung.
Sie entsteht aus dem Integral über beide Seiten der Kettenregel und nach einem Term der Kettenregel aufgelöst, fertig!

D.h.: \(\text{Das Integral über einen der Terme der Kettenregel }\displaystyle\int f(x)'\cdot g(x) \) =

\[f(x)\cdot g(x) \text{ MINUS dem Integral über den anderen Term} \displaystyle\int f(x)\cdot g'(x) \]

Komplette Herleitung:

1. Kettenregel \[{\Big (}f(x)\cdot g(x){\Big )'} = f(x)'\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\]
2. Integration auf beiden Seiten \[\int _{a}^{b}{\Big (}f(x)\cdot g(x){\Big )}'\,\mathrm {d} x = \int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x\]
3. Hauptsatz und Summenregel der Integralrechnung 
   Nun kann man auf der linken Seite sofort integrieren, da man eine Stammfunktion erhält, wenn man die Ableitung weglässt, und auf der rechten Seite kann man die Summe aufspalten in zwei Integrale: \[{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}_{a}^{b} = \int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x),\mathrm {d} x + \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x\]
4. Nach einem Integral auflösen
   Zu Letzt muss man nur noch eins dieser Integrale mit Minus auf die andere Seite schieben, dann hat man die Regel der Partiellen Integration: \[\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x = {\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x\]

Nun zur 2. Frage:
Wann könnte die Partielle Integration hilfreich sein?

Beim Integrieren ist ja immer die Frage, welche Regel zum Ziel führt :-)
Damit man nicht endlos herumprobiert, hier ein Anhaltspunkt, wann es sich lohnt, die Partielle Integration zu versuchen. 

Wie man auf der linken Seite der Regel sieht, kann man Partielle Integration eventuell anwenden, wenn ein Produkt von zwei Funktionen integriert werden soll.
Wie man ebenfalls auf der linken Seite sieht, wird bei der Partiellen Integration eine der beiden Funktionen als Ableitung interpretiert. 
Deshalb wäre ein wesentliches Kriterium, ob eine der beiden Funktionen, die multipliziert werden, beim Aufleiten nicht "schlimmer", und die andere beim Ableiten einfacher wird.

Typisches Beispiel ist Polynom mal e-Funktion (oder sin oder cos).
Das Polynom wird beim Ableiten immer harmloser und die e-Funktion bleibt beim Aufleiten (sin und cos tauschen lediglich mit Vorzeichenwechsel beim sin).
Je nach dem kann man die Partielle Integration mehrfach anwenden bis z.B. von dem Polynom nur noch ein konstanter Faktor übrig ist und man nur noch über die e-Funktion (bzw. sin oder cos) integrieren muss.

Noch ein gutes Beispiel: Potenz von x mal \(ln\)
Diesmal anders herum wird \(ln\) beim Ableiten besser - nämlich \(\frac1x\) - und Potenz von x nicht viel schlimmer. Und schon ist das Integral gut lösbar, da man \(\frac1x\) mit der integrierten Potenz von x weg-kürzen kann!

Fazit
Also bei einem Produkt von Funktionen fragen:
Kann ich eine der beiden Funktionen leicht aufleiten? Und wird die andere beim Ableiten einfacher?