"Okay ich Versuch das mal: mein Input der Aufgabe A (Lösung des LGS mit Matrix A) ist mein y-Vektor (4,0,7) und mein Input ist der x Vektor (Siehe oben)."

Gut. Du meinst "mein Output ist x". Das ist deshalb wichtig, weil die Konditionszahlen ein Mittel sind, Fehlerfortpflanzung bei FUNKTIONS(!!!)auswertungen einzuschätzen. Wenn man nicht klar hat, welche Funktion man auswerten will, braucht man auch nicht über Kond-zahlen reden (und wenn doch, kommt man durcheinander).

Zu dem obigen. Das ist der übliche Ansatz in der Numerik von LGS. Wir reden über rel. Fehler, und messen (man will ja die Fehlergrößen einschätzen) tut man es mit der Norm (weil Input und Output Vektoren sind). Dann kommt man auf die bekannte ABschätzung des rel. F. mit der Kondzahl der Matrix, also

rel. F. in \(\|y\|\le cond_A\cdot\) rel. F. in \(\|x\|\) mit \(cond_A = \|A\|\cdot \|A^{-1}\|\). A ist die Matrix aus dem LGS.

Hast Du die Abschnitte im Skript vom KIT schon durchgearbeitet? Da ist das alles sauber erklärt.

Ich glaube, du bist zu sehr von der Definition der relativen Kondition verwirrt, die für Funktionen \(f:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n\) gilt, und der Kondition einer Matrix, als Bestandteil eines LGS. Daher versuche ich das auch nochmal kurz zu erläutern.

Wie mikn schon gesagt hat, nimmt man zum Messen eine Vektornorm mit induzierter Matrixnorm, zum Beispiel die Spektralnorm oder die Frobeniusnorm. 

Als einfaches Beispiel betrachten wir die Matrixvektormultiplikation \(y=Ax\) mit der Eingabe \(x\) und Ausgabe \(y\) sowie \(A\) invertierbar, also \(x=A^{-1}y\). Wenn wir die Eingabe stören, also \(\widetilde{x}=x+\delta x\) (man könnte auch die Eingabe \(A\) stören, aber das lassen wir der Einfachheit halber mal an dieser Stelle), können wir den Fehler \(\delta y\) ähnlich abschätzen, wie ihr das bereits mit den Funktionen gemacht habt. Dann gilt wegen \(\delta y=\widetilde{y}-y=A\widetilde{x}-Ax=A(x+\delta x)-Ax=A\delta x\) für den Fehler

\(||\delta y||=||A\delta x||=||A\delta x||\cdot \dfrac{||x||}{||x||}=||A\delta x||\cdot \dfrac{||A^{-1}y||}{||x||}\leq ||A||\cdot ||A^{-1}||\dfrac{||\delta x||\cdot||y||}{||x||}\).

Division durch \(||y||\) liefert dann für den relativen Fehler

\(\dfrac{||\delta y||}{||y||}\leq ||A||\cdot ||A^{-1}||\dfrac{||\delta x||}{||x||}\).

Damit ist also der Faktor \(||A||\cdot ||A^{-1}||\) maßgeblich für die Fehlerfortpflanzung und man definiert diesen als die Konditionszahl der Matrix A \(\mathrm{cond}(A)\).

Vielleicht wird es jetzt etwas deutlicher.