Induktion mit Bernoulli Ungleichungn

Erste Frage Aufrufe: 121     Aktiv: 07.11.2023 um 19:42
0
Zeigen sie induktiv...
 n! < ((n+1):2)^n für alle n aus den natürlichen Zahlen, n>1

Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass aus der Bernoulli-Ungleichung die Ungleichung 2* n^n ≤(n+1)n,n∈N,folgt.

EDIT vom 07.11.2023 um 16:38:



so weit bin ich bei der Induktion gekommen, aber weiter weiß ich nicht mehr... da fehlt mir bestimmt die Erkenntnis aus dem Tipp
Diese Frage melden
gefragt
inaktiver Nutzer

 
Und deine Vorüberlegungen und deine Frage dazu?   ─   mikn 07.11.2023 um 10:48
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Die Induktion hat mit Summen und Produkten nichts zu tun, sondern ist ein Beweisverfahren für Aussagen, die für alle $n\in N$ gelten. Ein Muster findest Du unter https://www.mathefragen.de/frage/q/6ffc4f5d3d/vollstandige-induktion-produkte/
Vorweg aber solltest Du dem Tipp folgen. Lade Deine Rechnung dazu hoch, am besten als Foto (oben "Frage bearbeiten").
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 36.88K

 
Da da nichts von Induktion steht (anders als bei der Hauptaufgabe) würde ich es erstmal mit Umformen probieren. Bist Du sicher, dass die im Tipp zu beweisende Ungleichung so stimmt?   ─   mikn 07.11.2023 um 14:59
Das sieht schonmal ganz anders aus.
Du kannst auch in Zukunft einfach ein Foto hochladen.   ─   mikn 07.11.2023 um 15:14
Ok, zur Induktion: Sieht schon mal ganz gut umgesetzt aus. Wo Du "I.S." geschrieben hast, das ist die Ind.Beh. und die sollte auch so genannt werden. Das "n->n+1, Z.z:" kann entfallen. Der I.S. (Ind.Schritt) ist die Rechnung danach.
Weiter: Lass das $\stackrel{I.V.}{\implies}$ weg, und schreibe in einer Kette weiter, und schreibe $\stackrel{I.V.}{<}$ anstelle $<$. So, und nun vergleiche mit der rechten Seite der I.B., passe die 2er-Potenz an und schaue danach in den Tipp, der ja lautet (etwas umgeschrieben als Hilfe): "Für alle $k\in N$ gilt: $2\,k^k\le (k+1)^k$.
Das sollte den I.S. zum Ende bringen.
Zum Nachweis des Tipps muss ich selbst noch überlegen.
   ─   mikn 07.11.2023 um 19:42

Kommentar schreiben