Induktion mit Bernoulli Ungleichungn

Erste Frage Aufrufe: 263     Aktiv: 07.11.2023 um 19:42

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Zeigen sie induktiv...
 n! < ((n+1):2)^n für alle n aus den natürlichen Zahlen, n>1

Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass aus der Bernoulli-Ungleichung die Ungleichung 2* n^n ≤(n+1)n,n∈N,folgt.

EDIT vom 07.11.2023 um 16:38:



so weit bin ich bei der Induktion gekommen, aber weiter weiß ich nicht mehr... da fehlt mir bestimmt die Erkenntnis aus dem Tipp
gefragt
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Und deine Vorüberlegungen und deine Frage dazu?   ─   mikn 07.11.2023 um 10:48
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1 Antwort
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Die Induktion hat mit Summen und Produkten nichts zu tun, sondern ist ein Beweisverfahren für Aussagen, die für alle $n\in N$ gelten. Ein Muster findest Du unter https://www.mathefragen.de/frage/q/6ffc4f5d3d/vollstandige-induktion-produkte/
Vorweg aber solltest Du dem Tipp folgen. Lade Deine Rechnung dazu hoch, am besten als Foto (oben "Frage bearbeiten").
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Da da nichts von Induktion steht (anders als bei der Hauptaufgabe) würde ich es erstmal mit Umformen probieren. Bist Du sicher, dass die im Tipp zu beweisende Ungleichung so stimmt?   ─   mikn 07.11.2023 um 14:59

Das sieht schonmal ganz anders aus.
Du kannst auch in Zukunft einfach ein Foto hochladen.
  ─   mikn 07.11.2023 um 15:14

Ok, zur Induktion: Sieht schon mal ganz gut umgesetzt aus. Wo Du "I.S." geschrieben hast, das ist die Ind.Beh. und die sollte auch so genannt werden. Das "n->n+1, Z.z:" kann entfallen. Der I.S. (Ind.Schritt) ist die Rechnung danach.
Weiter: Lass das $\stackrel{I.V.}{\implies}$ weg, und schreibe in einer Kette weiter, und schreibe $\stackrel{I.V.}{<}$ anstelle $<$. So, und nun vergleiche mit der rechten Seite der I.B., passe die 2er-Potenz an und schaue danach in den Tipp, der ja lautet (etwas umgeschrieben als Hilfe): "Für alle $k\in N$ gilt: $2\,k^k\le (k+1)^k$.
Das sollte den I.S. zum Ende bringen.
Zum Nachweis des Tipps muss ich selbst noch überlegen.
  ─   mikn 07.11.2023 um 19:42

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