Binomischer Lehrsatz und die binomische Formel

Erste Frage Aufrufe: 529     Aktiv: 20.01.2021 um 11:36

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Die Summe alle Teilmengen einer n elementigen Menge ist ja 2 hoch n 

 

Wenn ich mir nun die 2. binomische Formel bzw. den binomischen Lehrsatz mit der Formel ansehe. 

2. Bin. Forme: (x+y) * (x+y) 

Mithilfe des bin. Lehrsatz komme ich ja auf 1x^2 + 2xy + 1y^2 

Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich das interpretieren soll. Gibt der bin. Lehrsatz bzw. 1x^2 + 2xy + 1y^2  auch die alle Teilmengen der Menge (x+y) * (x+y) an? Es ist ja auch die 2. Zeile des Pascalschen Dreiecks in der 2. bin. Formel vertreten:
1 2 1. Und diese summiert sind ja dieTeilmengen einer 2-elementigen Menge.

Oder was gibt mir der Bin. Lehrsatz an?  

 

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Was möchtest du denn eigentlich machen. Möchtest du den Binomischen Leersatz anwenden  um zu zeigen das \(2^n=(1+1)^n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}}\) gilt? Also die Summe der der Zahlen aus der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks \(2^n\) ergibt. Dann würde ich dir raten dieses per Vollständiger Induktion zu beweisen.

 

Willst du allerdings zeigen das Potenzmenge einer n-elementigen Menge (also die Menge aller Teilmengen einer n-elementigen Menge) die Mächtigkeit \(2^n\) besitzt, musst du einen mengentheoretischen Induktionsbeweis führen.

 

Hoffe das hilft dir weiter.

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\( \sum_{k=0}^{n} \binom {n} {k} \) = \( 2^{n} \) habe ich schon mit vollständiger Induktion bewiesen.

Ich bin nun beim bin. Lehrsatz und verstehe ihn nicht ganz.

Bei \( (1+1)^{2} \) bekomme ich ja durch Berechnung mit dem bin. Lehrsatz auf die Binomialkoeffizienten das pascal. Dreiecks aus der 2. Zeile. DIe Summe ist dieser Zeile ist ja wie bei der Berechnung von \( (1+1)^{2} \) = 4

Also könnte man ja meinen dass wie du beschrieben hast \( 2^{n} \) = Formel des binom. Lehrsatz.



Wenn ich aber \( (1+2)^{2} \) =\( (3)^{2} \) berechne bekomme ich aber als Ergebnis 9 und nicht wie in der 3. Zeile des pasc. Dreiecks 8. Wo ist denn mein Denkfehler bzw. wie verknüpfe ich das pascal. Dreieck mit dem bin. Lehrsatz
  ─   mathefrage12 20.01.2021 um 10:16

Weil die Aussage für die Summe nur für \(2^n\) gilt aber nicht für \(3^n\) ... für \(3^n=(1+2)^n\) erhält man über den binomischen leersatz eine andere Summe, da steckt glaube ich dein Denkfehler   ─   maqu 20.01.2021 um 11:36

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