Wie soll ich das zeigen , ohne Beweistechniken?

Aufrufe: 28     Aktiv: 21.02.2021 um 12:59

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Hallöchen,
meine Aufgabe ist "Zeigen Sie, dass gilt :

Jedoch hatten wir keine Beweistechniken wie vollständige Induktion o.ä...
Muss ich dass dann einfach mit Zahlbeispielen ausfüllen ?

Sonnige Grüße
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Student, Punkte: 233

 

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Es ist $$i^k+(-i)^k=\begin{cases}0,&k=1,3\mod 4,\\-2,&k=2\mod4,\\2,&k=0\mod4.\end{cases}$$ Also vereinfacht sich deine Summe zu $$\sum_{k\in\mathbb N_0,k=2\mod4}\frac{-2}{9\cdot 3^k}+\sum_{k\in\mathbb N_0,k=0\mod 4}\frac2{9\cdot3^k}=\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac{-2}{9\cdot3^{4k+2}}+\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac2{9\cdot 3^{4k}}=-\frac2{81}\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac1{81^k}+\frac29\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac1{81^k}=\frac{16}{81}\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac1{81^k}$$ Jetzt musst du nur noch die Formel für die geometrische Reihe einsetzen, die kennst du hoffentlich.
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