Es ist $$i^k+(-i)^k=\begin{cases}0,&k=1,3\mod 4,\\-2,&k=2\mod4,\\2,&k=0\mod4.\end{cases}$$ Also vereinfacht sich deine Summe zu $$\sum_{k\in\mathbb N_0,k=2\mod4}\frac{-2}{9\cdot 3^k}+\sum_{k\in\mathbb N_0,k=0\mod 4}\frac2{9\cdot3^k}=\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac{-2}{9\cdot3^{4k+2}}+\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac2{9\cdot 3^{4k}}=-\frac2{81}\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac1{81^k}+\frac29\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac1{81^k}=\frac{16}{81}\sum_{k\in\mathbb N_0}\frac1{81^k}$$ Jetzt musst du nur noch die Formel für die geometrische Reihe einsetzen, die kennst du hoffentlich.