Sei \(g:= f^{-1}\). Dann gilt \(g\circ f\equiv\mathrm{id}\). Leite jetzt mit der Kettenregel drei Mal ab. Wegen \(f'>0\) kannst Du jetzt jeweils nach den Ableitungen von \(g\) auflösen. Du musst nur den Wert von \(f^{-1}(2)\) kennen, aber der ist leicht zu erraten.

Das läuft genauso wie beim Satz über implizite Funktionen.

Ich würde hier einfach die Umkehrfunktion dreimal ableiten (Umkehrregel verwenden) und daraus dann das Taylorpolynom bauen.

Für die erste Ableitung erhält man dann zum Beispiel

\( (f^{-1})^\prime(x) = \frac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))} = \frac{1}{1+3(f^{-1}(x))^2} \)

und somit

\( (f^{-1})^\prime(2) = \frac{1}{1+3(f^{-1}(2))^2} = \frac{1}{1+3(1)^2} = \frac{1}{4} \)