Vollständige Induktion Probleme Term zu Lösen

Erste Frage Aufrufe: 56     Aktiv: 24.04.2021 um 13:12

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Ich habe eine Frage zum Induktionsschritt zu:


\(\prod_{i=1}^{n-1} (1+ \frac{1}{k}) = \frac{n^{n}}{n!}  \text{für n element N >= 2}\)

Ich habe 2 eingesetzt und die Aussage bestätigt. 
Dann habe ich mich zur Induktionsvorraussetzung gemacht:

\(\prod_{i=1}^{(n+1)-1} (1+ \frac{1}{k}) = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\)

Ich habe für das Produktzeichen umgestellt und vereinfacht:

\(\prod_{i=1}^{(n -1} (1+ \frac{1}{k})  + (1 + \frac{1}{n})^n= \frac{(n+1)^{n}}{n!}\)

Dann die Induktionsvorraussetzung eingesetzt statt dem Produktzeichen:

\( \frac{n^{n}}{n!}  + (1 + \frac{1}{n})^n= \frac{(n+1)^{n}}{n!}\)

Und ab hier alles mögliche probiert ich bin aber nie zu Induktionsvorraussetzung gekommen.

Mag mir vielleicht jemand helfen ?
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1 Antwort
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Probier es mal mit einem Malzeichen, statt einem Plus beim "Auflösen" des Multiplikationszeichens ;). Dann die Klammer in der letzten Zeile auf einen Bruch bringen und munter kürzen. Bist also so gut wie fertig.

\(\frac{n^{n}}{n!}  \color{red}\cdot (1 + \frac{1}{n})^n= \frac{(n+1)^{n}}{n!}\)

 
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Hey, Ich habe mich hier leider verschrieben. Ich habs mit einem Mal Zeichen probiert und komme später dann auf \( \frac{n^n + 1}{n!} \neq \frac{(n+1)^n}{n!}\)   ─   user976149 24.04.2021 um 12:23

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Wie bist du dahin gekommen?

\(\frac{n^{n}}{n!} \color{red}\cdot (1 + \frac{1}{n})^n = \frac{n^{n}}{n!} \color{red}\cdot (\frac{n+1}{n})^n = \frac{n^{n}}{n!} \color{red}\cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{(n+1)^{n}}{n!}\)
  ─   orthando 24.04.2021 um 12:35

Hey mein Fehler war wohl das ich

\(\frac{n^{n}}{n!} \color{red}\cdot (1 + \frac{1}{n})^n = \frac{n^{n}}{n!} \color{red}\cdot (\frac{n+1}{n^n}) = \frac{n^{n}}{n!} \color{red}\cdot \frac{n^n+1^n}{n^n} = \frac{n^n+1}{n!}\)

gerechnet habe danke!
  ─   user976149 24.04.2021 um 13:12

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