Dimensionen Gleichungssystem

Aufrufe: 40     Aktiv: 04.04.2021 um 19:50

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Ich habe grundsätzlich nur eine kurze Frage bezüglich der Dimension eines Gleichungssystems. Was wäre bspw. die Dimension des GS: 3x + 4y = 8 (das müsste ja theoretisch 1 Dimensional, also eine Strecke bzw. diese Strecke eben als Funktion sein, oder?), denn würde man bspw hinzufügen 6x + 5y = 12, wäre die Koeffizientenmatrix linear unabhängig und würde dadurch den R^(2) aufspannen?

Vielen Dank euch :)
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Mit der Dimension des LGS meinst du die Dimension des Raumes, der durch die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix aufgespannt wird. Diese Dimension nennt man auch den Rang des LGS. Im ersten Beispiel wäre die Koeffizientenmatrix (zur Veranschaulichung mit Nullzeile) $$A=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$ und somit hat diese Matrix den Rang \(1\), da wie du bereits richtig erkannt hast, die Vektoren \((3,0)^t\) und \((4,0)^t\) linear abhängig sind. Also ist die Dimension des Bildes der Matrix \(A\) auch \(1\), was einer Ursprungsgreade entspricht (Wichtig: keine Strecke, da eine Strecke einen Anfang und ein Ende hat). Im zweiten Beispiel ist wie du richtig sagst, die Dimension des Bildes/der Rang der Koeffizientenmatrix gleich \(2\). Dies siehst du beispielsweise daran, dass wenn du diese Matrix in Zeilenstufen bringst, sie keine Nullzeilen hat.
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Vielen Dank :), das war leider die Frage, die ich mir mittlerweile schon selbst beantwortet habe, an der 2. zerbreche ich mir momentan den Kopf :D Weißt du vielleicht (blöde Frage :D), wieso kann ich mit einem 2x2 Gleichungssystem zweier linearer unabhängiger Vektoren keine Ebene aufspannen? (1 | 0) (0 | 1) spannt doch eine Ebene auf, für was brauch ich da eine 3. Dimension, mit der Lösung {(a | b | c) + () * c + () * d}?   ─   sven03 04.04.2021 um 19:22

Ich glaube du verwechselst hier die Dimension des Bildes mit der Dimension des Kerns (Lösung des homogenen LGS). Wenn dein Vektorraum der \(\mathbb{R}^2\) ist und die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, also die Matrix vollen Rang hat/die Dimension des Bildes \(2\) ist, dann ist nach Rangsatz die Dimension des Kerns \(0\). Spannen hingegen die Spaltenvektoren den Nullraum \(\emptyset\) auf, so ist für \(\mathbb{R}^2\) die Dimension des Kerns \(2\), also eine Ebene, hier wäre die Koeffizientenmatrix \(A = \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}\)   ─   mathejean 04.04.2021 um 19:28

Danke :) Das verstehe ich schon ca. und muss ich dann wieder entsprechend für den erneuten Antritt der Uni-Matheprüfung lernen. Jetzt lerne ich grundsätzlich nur die Grundlagen nach und hierbei ist mir nicht ganz klar, wo genau der Unterschied zwischen einer Ebene im R^(2) und einer Ebene im R^(3) ist (also prinzipiell jetzt unabhängig vom Lösen linearer Gleichungen gehe ich von vollem Rang aus, um das zu verstehen). Denn so wie es immer erklärt wird im R^(3) sei eine Ebene definiert mit einem Stützvektor + 2 Richtungsvektoren. Ist mir nur leider vollkommen unklar. Keine Ahnung aber ich könnte ja auch im 2 Dimensionalen es theoretisch so machen: {(0 | 1) + (1 | 1) * x1 + (-1 | 1) * x2} Das wäre doch genauso eine Ebene, ich sehe und verstehe nicht was eine Ebene im R^(3) ist   ─   sven03 04.04.2021 um 19:34

Die Intuitition würde mir ja sagen, dass ich im R^(2) eine Ebene aufspannen kann (denn mehr gibt die Zeichebene nicht her) und im R^(3) einen Körper   ─   sven03 04.04.2021 um 19:36

Genau, auch im zweidimensionalen kannst du eine Ebene aufspannen, nur diese ist dann genau der \(\mathbb{R}^2\), im dreidimensionalen gibt es hingegen unendlich viele Ebenen, durch die dritte Komponente und den dadurch induzierten Stützvektor. Das Stichwort wären hier affine Unterräume, falls du das für deine Prüfung brauchst :D   ─   mathejean 04.04.2021 um 19:37

Ich verstehe zwar, was du mit Körper meinst, aber korrekter wäre es, dass ein Raum aufgespannt wird. Da dies aber mit Begrifflichkeiten von Vektor- und Untervektorräumen kollidiert, spricht man hier oft von einer Hyperebene. Vielleicht findest du ja auch in deinem Skript etwas zu affinen Unterräumen :D   ─   mathejean 04.04.2021 um 19:38

Vielen, vielen Dank, dann kenn ich mich jetzt aus :) Also theoretisch gäbe es kein () *c + () *d + () *e (kann ich dann aber sicher dank deiner Begrifflichkeiten evaluieren :) ) Ja wäre ich so schlau gewesen, vor dem Studium mich entsprechend vorzubereiten und nicht mit der Naivität reinzugehen, dass der Aufnahmetest relativ einfach war, würde ich jetzt nich da sein, wo ich bin :/ Ich habe leider eine extrem schlechte Vorausbildung genossen (kaufmännisch) und steh jetzt natürlich im Informatikstudium dadurch etwas an, versuche mir aber alles jetzt selbst beizubringen, um weiterführendes (aufgrund meines Scheiterns) logisch zu verstehen und die Prüfung zu schaffen. Bringt auch nichts jetzt groß weiterzumachen (was ich schaffe, schaffe ich dieses Semester, was nicht, nicht), ohne dabei ein stabiles Mathegrundgerüst zu haben (dadurch bin ich auch, auch wenns mich überhaupt nicht freut, auch gezwungen, selbst am Ostersonntag zu lernen), nur eins hab ich allenfalls gelernt in dem einem Semester: nichts hinnehmen, ohne zu hinterfragen, sonst mündets im sturen auswendig lernen, ohne es zu verstehen, daher noch einmal vielen, vielen Dank :)   ─   sven03 04.04.2021 um 19:47

Freut mich, dass ich dir ein bisschen auf die Sprünge helfen konnte :D   ─   mathejean 04.04.2021 um 19:50

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