M besitzt kein Supremum

Aufrufe: 91     Aktiv: 16.11.2021 um 18:52

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Bei der Aufgabe soll man zeigen, dass der Körper K nicht vollständig ist, indem man zeigt, dass die Menge M kein Supremum in K besitzt: 
\(K=\{x+y\sqrt{2}:x,y \text{ in Q}\}\)
\(M=\{z \text{ in K:\(z^2\le3\)}\}\)

Meine Idee wäre, dass \(\sqrt{3}\) ja Supremum in den Reellen Zahlen wäre, aber \(\sqrt{3}\) ist kein Element von K (das würde ich zeigen). Aber dann müsste ich ja zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke von M in K gibt, kann mir jemand sagen wie das geht? 

Vielen Dank im Voraus!

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Punkte: 73

 

Das geht entweder über einen Widerspruchsbeweis oder über ein \(\varepsilon \)-Kriterium für Suprema. Sagt dir das etwas?   ─   mathejean 16.11.2021 um 08:24

Ist das ε -Kriterium dass ich annehme, dass √3-ε das Supremum ist, und dann einen Widerspruch erzeuge?
  ─   mathestudent 16.11.2021 um 10:20

Im Prinzip ja, \(sup(M)=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists x\in M: x\geq a-\varepsilon\)   ─   mathejean 16.11.2021 um 18:52
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