Bild eines Durchschnitts

Erste Frage Aufrufe: 768     Aktiv: 04.08.2022 um 18:27

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Es gilt die Aussage: \( f\left( \cap_{i\in I} A_i \right) \subseteq  \cap_{i\in I} f(A_i)    \)

Ist die folgende Begründung dafür korrekt, dass i.A. nicht die Gleichheit gilt?

\( y \in f\left( \cap_{i\in I} A_i \right) \implies \)  Es gibt ein \( x \in A_i \) für alle \(i \in I\) mit der Eigenschaft \(y=f(x)\).
also muss in allen \(A_i\) dieses \( x\) drin liegen. Das zeigt die Inklusion \( \subseteq\).

ABER: andersrum gilt diese Argumentation nicht!
Angenommen es gilt:

Für alle \(i\in I\) gibt es ein \(x\in A_i\) mit \( y=f(x)\). Da heißt noch nicht, dass es ein \(x \in A_i\) für alle \(i\in I\) gibt mit \(y=f(x)\). Die \(x\) könnten sich nämlich unterscheiden. 

Diese Argumentation wäre nur valide, wenn \(f\) injektiv wäre, oder?

Stimmt meine Argumentation so oder fehlt noch etwas?
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1. Sei \(y\in f(\cap_{i\in I}A_i)\)

\( \implies \)

2. \( \exists x\in \cap_{i\in I} A_i : f(x) =y\)

\(\implies \)

3. \( \exists x : \forall i \in I: x \in A_i \land f(x) = y \)

\(\implies \)

4. \( \forall i \in I: \exists x_i (=x)\in A_i : f(x_i)=y\)

\(\implies \)

5. \( \forall i \in I: y \in f(A_i) \)

\(\implies \)

6. \( y \in \cap_{i \in I} f(A_i)\)

Also \( \subseteq\).
  ─   math stories 03.08.2022 um 16:42

@mikn, @cauchy.

Ich habe jetzt nur die Implikation aufgeschrieben mit den Hinweisen von euch. Ich hoffe, ich habe alles richtig verstanden!
  ─   math stories 03.08.2022 um 16:44

Das sieht gut aus :)   ─   42 03.08.2022 um 17:05

@42: "sieht gut" aus im Sinne "ist korrekt so"? :D   ─   math stories 04.08.2022 um 09:47

Dankeschön!   ─   math stories 04.08.2022 um 18:27
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Ich werde mal versuchen, die Kritik ein bisschen zusammenzufassen.


Als erstes widmen wir uns dem Beweis der Inklusion:

Aus \( y \in f( \cap_{i \in I} A_i ) \) folgerst du "Es gibt ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) mit der Eigenschaft \( y = f(x) \)". Das ist nicht falsch, aber du hast hier zwei Schritte in einem gemacht. Aus \( y \in f( \cap_{i \in I} A_i ) \) folgt zunächst, dass es ein \( x \in \cap_{i \in I} A_i \) gibt mit der Eigenschaft \( y = f(x) \), und daraus folgt dann erst deine Aussage.

Nach "Es gibt ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) [...]" schreibst du "Also muss in allen \( A_i \) dieses \( x \) drin liegen". Diese Folgerung ist völlig redundant. Wenn es ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) gibt, dann heißt das doch gerade, dass in allen \( A_i \) dieses \( x \) drin liegt. Du führst damit nur eine Tatsache an, die sowieso schon klar war. Das kann also ersatzlos gestrichen werden.

Und dann schreibst du einfach "Das zeigt die Inklusion". Aber das tut es natürlich nicht. Du musst zeigen, dass \( y \in \cap_{i \in I} f(A_i) \) ist. Und das steht da nicht. Es fehlen also noch ein paar Folgerungen in deinem Beweis.


Nun kommen wir dazu, dass i.A. keine Gleichheit gilt:

Es gibt Fälle, in denen die Gleichheit gilt. Man kann also keinen allgemeinen Beweis dafür finden, dass die Gleichheit nicht gilt. Dein Vorgehen ist also von Anfang an zum Scheitern verurteilt.

Wenn eine Aussage i.A. nicht gilt, dann bedeutet das, dass es mindestens ein Gegenbeispiel gibt. Wenn du also zeigen sollst, dass die Gleichheit i.A. nicht gilt, dann musst du ein Beispiel finden, für das die Gleichheit nicht gilt. Du musst also konkret eine Indexmenge \( I \), Mengen \( A_i \) und eine Abbildung \( f \) angeben, für die \( f( \cap_{i \in I} A_i ) \neq \cap_{i \in I} f(A_i) \) ist.

Das, was du hier getan hast, ist keine valide Argumentation. Du schreibst "Für alle \( i \in I \) gibt es ein \( x \in A_i \) mit \( y = f(x) \)" (hier schreibt man besser \( x_i \) statt \(x\), weil das \( x \) von \(i\) abhängt). Und dann sagst du, dass man daraus nicht die Äquivalenz folgern kann, weil "die \( x \) könnten sich nämlich unterscheiden". Das stimmt zwar, aber das ist kein Argument. Die \( x \) könnten sich genauso gut auch nicht unterscheiden. Wer weiß? Erst wenn du zeigen kannst, dass die \( x \) tatsächlich unterschiedlich sind, dann hast du eine valide Aussage.


Und zur abschließenden Frage:

Wenn \( f \) injektiv ist, dann kann man daraus folgern, dass die \( x \) bzw. \( x_i \) alle gleich sein müssen. Da hast du recht. In diesem Fall gilt also die Gleichheit.
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Hier geht einiges schief. Achte bitte auf die genaue Schreibweise.

Fall 1: Du sagst, es gibt $x\in A_i$ für alle $i\in I$ und schlussfolgerst daraus, dass in allen $A_i$ dieses $x$ liegt. Du hast hier also rein gar nichts gezeigt, weil du deine Schlussfolgerung bereits angenommen hast. 

Fall 2 ist ähnlich: Du sagst, dass es für alle $i\in I$ ein $x\in A_i$ gibt, sagst aber im Satz darauf direkt, dass das nicht heißt, dass $x\in A_i$ für alle $i\in I$ gilt. Das widerspricht sich hier komplett. 

Wenn du zwei verschiedene $x$ meinst, dann nenne sie auch entsprechend verschieden. Gezeigt hast du hier jedenfalls nichts.
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Danke @cauchy für deine Antwort.

Ich verstehe noch nicht meinen Denkfehler bei Fall 1. Hier nochmal ausführlicher meine Idee:

Ich nehme an \(y\) liegt im Bild des Durchschnitts.

Also gibt es ein \(x\) im Durchschnitt mit \(y=f(x)\) und umgekehrt.

Also gibt es ein \(x\), das in allen \(A_i\) liegt mit \(y=f(x)\) und umgekehrt.

Also liegt in allen \(A_i\) ein Element (nämlich) \(x\) mit \(y=f(x)\), aber eben nicht umgekehrt, weil \(f\) dazu injektiv sein müsste.

Also existiert für alle \(i\in I\) ein \(x \) in \(A_i\) mit \(y=f(x)\) und umgekehrt.

Also existiert für alle \(i\in I\) ein \(y\) in \(f(A_i)\) und umgekehrt.

Also liegt \(y\) im Durchschnitt der Bilder.

Kannst du mir bitte helfen, das zu verstehen?
  ─   math stories 28.07.2022 um 21:40

Könnte mir bitte jemand hierbei noch helfen? :)   ─   math stories 31.07.2022 um 19:51

@mikn: leider verstehe ich die Hinweise von euch nicht. In meiner Antwort oben, habe ich den Beweis (wie ich ihn führen würde) aufgeschrieben, nur mit weniger Symbolen und mehr Prosa Text.

Ist der Beweis denn falsch? An welcher Stelle und wieso?

Wäre super dankbar für eure weitere Hilfe!
  ─   math stories 03.08.2022 um 14:59

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Der Beweis der einen Implikation ist aufjedenfall richtig, ich glaube sie möchten nur, dass du noch kleinschrittiger argumentierst. Wie du argumentierst, dass andere Richtung nicht gilt, ist sehr schwammig und so macht man das auch nicht. Hier ist gut, wenn du den Hinweis von mikn mit dem Gegenbeispiel folgst. Zu Injektiv: versuch es doch mal zu beweisen :D   ─   mathejean 03.08.2022 um 15:05

Ein Gegenbeispiel brauche ich doch gar nicht, da es um keine echte Teilmenge geht. Überall, wo ich "und umgekehrt" geschrieben habe, gilt die Äquivalenz. Nur an einer Stelle ist dies nicht klar, sodass ich nur in die eine Richtung weiter argumentieren kann. Damit ist meiner Meinung nach gezeigt, dass das Bild vom Durchschnitt Teilmenge vom Durchschnitt der Bilder ist.

  ─   math stories 03.08.2022 um 15:29

Der Punkt, an dem die Implikation nicht zurückgeht, argumentiere ich doch folgendermaßen:

Es gibt ein \(x\), das in allen \(A_i\) liegt und die Eigenschaft \(f(x_i)=y\) hat.

Also folgt

In allen \(A_i\) gibt es ein \(x_i\) mit \(f(x_i)=y\), nämlich gerade das eine \(x\), das es ja ohnehin gibt nach Voraussetzung.

Hier gilt aber die Umkehrung i.A. nicht.

Nur weil ich in allen \(A_i\) eine \(x_i\) mit der Eigenschaft \(f(x_i)=y \) finde, heißt das noch nicht, dass alle diese \(x_i\) auch gleich sind.
  ─   math stories 03.08.2022 um 15:35

Deswegen bitte ich nochmal um Hilfe, wo an welchen Stellen ich falsch argumentiere! 🤗   ─   math stories 03.08.2022 um 15:36

Ich beharre gar nicht auf meinen Versuch, sondern versuche meinen Fehler zu verstehen. Ich habe unter meine Frage eine ausführlichere Argumentation geschrieben, zu der ich noch keine Rückmeldung bekommen habe!

Ich habe auch auch lediglich angemerkt, dass an einer Stelle NUR die Implikation gilt (die Gleichheit also nicht zwangsmäßig gelten muss).

Ich versuche wirklich nur zu verstehen, an welcher Stelle meine Argumentation nicht stimmig ist. Also habe ich wirklich noch nicht gezeigt, dass alle Element im Bild des Durchschnitts nicht auch im Durchschnitt der Bilder liegen? Diese Stelle verstehe ich leider nicht.

Ich bitte euch sehr um Hilfe.
  ─   math stories 03.08.2022 um 15:48

@mikn. ich glaube wir reden aneinander vorbei. Ich habe das oben gelesen, aber eben nicht verstanden.

Vorschlag: ich schreibe den Beweis nochmal auf (diesmal auch mit mathematischer Notation) und bringe eure Kommentare ein, soweit ich das verstanden habe. Ich hoffe daran, könnt ihr meine Probleme nachvollziehen!
  ─   math stories 03.08.2022 um 16:21

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.