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Ich werde mal versuchen, die Kritik ein bisschen zusammenzufassen.
Als erstes widmen wir uns dem Beweis der Inklusion:
Aus \( y \in f( \cap_{i \in I} A_i ) \) folgerst du "Es gibt ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) mit der Eigenschaft \( y = f(x) \)". Das ist nicht falsch, aber du hast hier zwei Schritte in einem gemacht. Aus \( y \in f( \cap_{i \in I} A_i ) \) folgt zunächst, dass es ein \( x \in \cap_{i \in I} A_i \) gibt mit der Eigenschaft \( y = f(x) \), und daraus folgt dann erst deine Aussage.
Nach "Es gibt ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) [...]" schreibst du "Also muss in allen \( A_i \) dieses \( x \) drin liegen". Diese Folgerung ist völlig redundant. Wenn es ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) gibt, dann heißt das doch gerade, dass in allen \( A_i \) dieses \( x \) drin liegt. Du führst damit nur eine Tatsache an, die sowieso schon klar war. Das kann also ersatzlos gestrichen werden.
Und dann schreibst du einfach "Das zeigt die Inklusion". Aber das tut es natürlich nicht. Du musst zeigen, dass \( y \in \cap_{i \in I} f(A_i) \) ist. Und das steht da nicht. Es fehlen also noch ein paar Folgerungen in deinem Beweis.
Nun kommen wir dazu, dass i.A. keine Gleichheit gilt:
Es gibt Fälle, in denen die Gleichheit gilt. Man kann also keinen allgemeinen Beweis dafür finden, dass die Gleichheit nicht gilt. Dein Vorgehen ist also von Anfang an zum Scheitern verurteilt.
Wenn eine Aussage i.A. nicht gilt, dann bedeutet das, dass es mindestens ein Gegenbeispiel gibt. Wenn du also zeigen sollst, dass die Gleichheit i.A. nicht gilt, dann musst du ein Beispiel finden, für das die Gleichheit nicht gilt. Du musst also konkret eine Indexmenge \( I \), Mengen \( A_i \) und eine Abbildung \( f \) angeben, für die \( f( \cap_{i \in I} A_i ) \neq \cap_{i \in I} f(A_i) \) ist.
Das, was du hier getan hast, ist keine valide Argumentation. Du schreibst "Für alle \( i \in I \) gibt es ein \( x \in A_i \) mit \( y = f(x) \)" (hier schreibt man besser \( x_i \) statt \(x\), weil das \( x \) von \(i\) abhängt). Und dann sagst du, dass man daraus nicht die Äquivalenz folgern kann, weil "die \( x \) könnten sich nämlich unterscheiden". Das stimmt zwar, aber das ist kein Argument. Die \( x \) könnten sich genauso gut auch nicht unterscheiden. Wer weiß? Erst wenn du zeigen kannst, dass die \( x \) tatsächlich unterschiedlich sind, dann hast du eine valide Aussage.
Und zur abschließenden Frage:
Wenn \( f \) injektiv ist, dann kann man daraus folgern, dass die \( x \) bzw. \( x_i \) alle gleich sein müssen. Da hast du recht. In diesem Fall gilt also die Gleichheit.
Als erstes widmen wir uns dem Beweis der Inklusion:
Aus \( y \in f( \cap_{i \in I} A_i ) \) folgerst du "Es gibt ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) mit der Eigenschaft \( y = f(x) \)". Das ist nicht falsch, aber du hast hier zwei Schritte in einem gemacht. Aus \( y \in f( \cap_{i \in I} A_i ) \) folgt zunächst, dass es ein \( x \in \cap_{i \in I} A_i \) gibt mit der Eigenschaft \( y = f(x) \), und daraus folgt dann erst deine Aussage.
Nach "Es gibt ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) [...]" schreibst du "Also muss in allen \( A_i \) dieses \( x \) drin liegen". Diese Folgerung ist völlig redundant. Wenn es ein \( x \in A_i \) für alle \( i \in I \) gibt, dann heißt das doch gerade, dass in allen \( A_i \) dieses \( x \) drin liegt. Du führst damit nur eine Tatsache an, die sowieso schon klar war. Das kann also ersatzlos gestrichen werden.
Und dann schreibst du einfach "Das zeigt die Inklusion". Aber das tut es natürlich nicht. Du musst zeigen, dass \( y \in \cap_{i \in I} f(A_i) \) ist. Und das steht da nicht. Es fehlen also noch ein paar Folgerungen in deinem Beweis.
Nun kommen wir dazu, dass i.A. keine Gleichheit gilt:
Es gibt Fälle, in denen die Gleichheit gilt. Man kann also keinen allgemeinen Beweis dafür finden, dass die Gleichheit nicht gilt. Dein Vorgehen ist also von Anfang an zum Scheitern verurteilt.
Wenn eine Aussage i.A. nicht gilt, dann bedeutet das, dass es mindestens ein Gegenbeispiel gibt. Wenn du also zeigen sollst, dass die Gleichheit i.A. nicht gilt, dann musst du ein Beispiel finden, für das die Gleichheit nicht gilt. Du musst also konkret eine Indexmenge \( I \), Mengen \( A_i \) und eine Abbildung \( f \) angeben, für die \( f( \cap_{i \in I} A_i ) \neq \cap_{i \in I} f(A_i) \) ist.
Das, was du hier getan hast, ist keine valide Argumentation. Du schreibst "Für alle \( i \in I \) gibt es ein \( x \in A_i \) mit \( y = f(x) \)" (hier schreibt man besser \( x_i \) statt \(x\), weil das \( x \) von \(i\) abhängt). Und dann sagst du, dass man daraus nicht die Äquivalenz folgern kann, weil "die \( x \) könnten sich nämlich unterscheiden". Das stimmt zwar, aber das ist kein Argument. Die \( x \) könnten sich genauso gut auch nicht unterscheiden. Wer weiß? Erst wenn du zeigen kannst, dass die \( x \) tatsächlich unterschiedlich sind, dann hast du eine valide Aussage.
Und zur abschließenden Frage:
Wenn \( f \) injektiv ist, dann kann man daraus folgern, dass die \( x \) bzw. \( x_i \) alle gleich sein müssen. Da hast du recht. In diesem Fall gilt also die Gleichheit.
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\( \implies \)
2. \( \exists x\in \cap_{i\in I} A_i : f(x) =y\)
\(\implies \)
3. \( \exists x : \forall i \in I: x \in A_i \land f(x) = y \)
\(\implies \)
4. \( \forall i \in I: \exists x_i (=x)\in A_i : f(x_i)=y\)
\(\implies \)
5. \( \forall i \in I: y \in f(A_i) \)
\(\implies \)
6. \( y \in \cap_{i \in I} f(A_i)\)
Also \( \subseteq\).
─ math stories 03.08.2022 um 16:42