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Ja der Grenzwert bei (a) ist \(3\). Man benutzt hier den Satz von L'Hospital. Wenn dein Grenzwert \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) gegen einen Ausdruck wie '\(\frac{0}{0}\)' oder '\(\frac{\infty}{\infty}\)' konvergiert, betrachtest du \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=a\). Existiert dieser Grenzwert \(a\) folgt, dass auch \(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} \dfrac{f(x)}{g(x)}=a\) gilt. Sollte man nach dem anwenden von L'Hospital wieder auf einen solchen Ausdruck kommen, kann man den Satz erneut anwenden.
Hoffe das hilft weiter.
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maqu
Punkte: 8.84K
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ableiten von \(x\) im Nenner ergibt \(1\) und nicht \(3\), dann kommst du auch auf deinen Grenzwert ;) ... du hast sicherlich die Ableitung von \(\frac{\sin(3x)}{3x}\) gebildet aus dem Hinweis von @math stories ... schau dazu nochmal in die Kommentare
─
maqu
05.02.2021 um 19:22
ich soll es aber mit der verwendung machen
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anonymf907f
05.02.2021 um 19:26
ja und in dem Kommentar unten steht es ist \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{\sin(3x)}{3x} \neq \underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{\sin(3x)}{x}\).
Auf dein Ergebnis kommst du mit \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{\sin(3x)}{x} \overset{z=3x}{=}\underset{z\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{3\sin(z)}{z} =3\cdot \underset{=1}{\underbrace{\underset{z\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{\sin(z)}{z}}} =3\cdot 1=3 \) ─ maqu 05.02.2021 um 19:31
Auf dein Ergebnis kommst du mit \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{\sin(3x)}{x} \overset{z=3x}{=}\underset{z\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{3\sin(z)}{z} =3\cdot \underset{=1}{\underbrace{\underset{z\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{\sin(z)}{z}}} =3\cdot 1=3 \) ─ maqu 05.02.2021 um 19:31
jetzt noch die b)
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anonymf907f
05.02.2021 um 19:45
Die Idee \(\tan(3x)\) in \(\dfrac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\) umzuschreiben ist schonmal richtig. Kannst du mit den Abschätzungen \(-x\leq \sin(x)\leq x\) und \(-1\leq \cos(x)\leq 1\) etwas anfangen? Stichwort Sandwich-Theorem? (Hinweis: benutze die (a)!)
─
maqu
05.02.2021 um 20:54
das ist schon mal gut
nicht so richtig nein ;D ─ anonymf907f 06.02.2021 um 16:53
nicht so richtig nein ;D ─ anonymf907f 06.02.2021 um 16:53
Na du erhälst dann ja den Bruch \(\dfrac{\sin(3x)}{\cos(3x)\sin(5x)}\). Und wie kannst du nun den Nenner mit Hilfe der beiden Ungleichungen abschätzen?
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maqu
06.02.2021 um 16:59
muss ich für das x 0 einsetzen um es abzuschätzen?
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anonymf907f
06.02.2021 um 19:34
Nein du willst durch die Abschätzung das x ja erst in den Nenner bekommen! Außerdem kann x nicht Null sein, dann würdest du ja durch Null teilen. Also durch Sinusabschätzung gilt \(-5x\leq \sin(5x) \leq 5x\) ... was gilt dann für die Abschätzung \(\ldots \leq \dfrac{1}{\sin(5x)} \leq \ldots\) ? Entsprechend machst du die gleiche Überlegung für \(-1\leq \cos(3x)\leq 1\) ... hilft das weiter?
─
maqu
06.02.2021 um 20:05
ich weiß nicht zu richtig wie ich das abschätzen kann
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anonymf907f
08.02.2021 um 09:19
Aus \(-5x\leq \sin(5x)\leq 5x\) folgt \(\dfrac{1}{5x}\leq \dfrac{1}{\sin(5x)}\leq \dfrac{1}{-5x}\) entsprechend folgt aus \(-1\leq \cos(3x)\leq 1\) dann \(\dfrac{1}{1}\leq \dfrac{1}{\cos(3x)}\leq \dfrac{1}{-1}\) ... wende diese beiden Abschätzungen doch jetzt mal auf \(\ldots \leq \dfrac{\sin(3x)}{\cos(3x)\sin(5x)}\leq \ldots \) an!
─
maqu
08.02.2021 um 09:52
ich probiere es mal
─
anonymf907f
08.02.2021 um 10:22
ich weiß nicht zurecht wie das sandwich therom darauf anwenden soll
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anonymf907f
10.02.2021 um 23:42
links: -5x
rechts1/-1
??? ─ anonymf907f 10.02.2021 um 23:48
rechts1/-1
??? ─ anonymf907f 10.02.2021 um 23:48
bei c) ist es null? was für für l hospiutal stehen und/und.?
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anonymf907f
10.02.2021 um 23:51
