Analytische Funktionen

Aufrufe: 42     Aktiv: 21.04.2021 um 12:10

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Hallo liebe Mathefragen-Community,

ich habe da mal eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

In Aufgabe 2.2 sollte gezeigt werden, dass die Funktion \(h(x)=(1+x)^{\alpha}\) für \(\alpha \in \mathbb{R}\) analytisch in einer Umgebung von \(x_0=0\) ist. Die Teilaufgaben (1) und (2) habe ich bereits gelöst. Nun stellt sich mir die Frage, inwieweit mir die Funktion \(k(x)\) nun helfen soll zur Lösung zu kommen. Ich habe mir überlegt, wie man (2) benutzen kann. Dazu habe ich \(k(x)\) mit Produktregel abgeleitet um dann die (2) verwenden zu können:
\[k'(x)=-\alpha(1+x)^{-(\alpha+1)}\cdot P(x)+(1+x)^{-\alpha} \cdot P'(x)\overset{(2)}{=}-\alpha(1+x)^{-(\alpha+1)}\cdot P(x)+(1+x)^{-\alpha} \cdot \dfrac{\alpha}{1+x} \cdot P(x)=0\]
Ist mein Ansatz richtig? Wenn die Ableitung von \(k(x)\) Null ist muss doch \(k(x)\) eine konstante Funktion sein oder? Eine Funktion \(f(x)\) heißt ja analytisch in \(x_0\), wenn es ein \(\delta>0\) gibt, so dass \(f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k} \in \quad  ]x_0-\delta ,x_0+\delta[\). Wenn \(k(x)\) also konstant ist, muss doch \(h(x)=(1+x)^{\alpha}\) sich genau als \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k}\) mit \(a_k=\binom{\alpha}{k}\) darstellen lassen. Dann wäre \(h(x)\), weil \(k(x)\) konstant ist, nach (1) für \(\delta=1\) in \(x_0=0\) analytisch. Stimmt das? Falls nicht, wäre ich über einen passenden Lösungsansatz dankbar.


MfG
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Das ist alles richtig, bis auf eine kleine Ungenauigkeit. Du hast richtig erkannt, dass \(k\) konstant ist, d.h. \(k(x)=c\) für ein \(c\in\mathbb R\). Jetzt solltest du dieses \(c\) noch bestimmen, z.B. indem du \(0\) in \(k\) einsetzt. Dann kannst du wirklich schließen, dass \(h(x)=P(x)\) auf \(]-1,1[\). Sonst wüsstest du nur, dass eines ein konstantes Vielfaches des anderen ist. Das reicht auch, um analytisch zu sein, aber das müsstest du noch erwähnen, dann wäre quasi \(a_k=\frac1c\binom\alpha k\).
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Ok danke für deine schnelle Antwort. Also war ich damit doch nicht auf dem Holzweg. Verstehe deinen Einwand, also es müsste \(k(0)=1\) sein oder? Das \((1-x)^{-\alpha}\) für \(x=0\) Eins wird ist klar. Bei \(P(x)\) ist das erste Summenglied Eins wegen \(0^0=1\) und \(\binom{\alpha}{0}=1\). Alle anderen unendlich vielen Folgeglieder müssten dann für \(k\geq 1\) Null werden. Dann wäre also \(P(0)=1\) und somit auch \(k(0)=1\). Damit kann ich doch dann auch \(a_k=\binom{\alpha}{k}\) wählen oder?   ─   anonym 20.04.2021 um 15:35

Genau, jetzt ist das Argument vollständig.   ─   stal 20.04.2021 um 16:04

Alles klar, vielen Dank :)   ─   anonym 21.04.2021 um 12:10

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