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Es gilt $$\binom{i}{i-2}=\frac{i!}{(i-2)!(i-i+2)!}=\frac{i (i-1)(i-2)!}{4(i-2)!}=\frac{i^2-i}{4}$$Es gilt also $$\sum_{i=0}^n\binom{i}{i-2}=\frac 1 4 \sum_{i=0}^n i^2-i=\frac 1 4 \Biggl(\sum_{i=0}^ni^2-\sum_{i=0}^ni\Biggr)$$Jetzt kannst du die Summenformel und den Tipp aus der Aufgabe einsetzen. Kommst du jetzt weiter?
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mathejean
Student, Punkte: 10.87K
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Oh wow, vielen Dank für die ausführliche Lösung! Danke Dir wirklich, aber darf ich kurz nochmal lästig sein? :-)
Grundsätzlich sieht es auf den ersten Blick ganz schön verständlich aus, aber kannst Du mir vlt. kurz erzählen wie Du auf dieses Ergebnis gekommen bist und warum Du das so gemacht hast? Brauche natürlich keinen Roman... Mich interessieren meistens die Hintergründe. ;-) ─ thepeasant 30.04.2021 um 20:03
Grundsätzlich sieht es auf den ersten Blick ganz schön verständlich aus, aber kannst Du mir vlt. kurz erzählen wie Du auf dieses Ergebnis gekommen bist und warum Du das so gemacht hast? Brauche natürlich keinen Roman... Mich interessieren meistens die Hintergründe. ;-) ─ thepeasant 30.04.2021 um 20:03
Wenn man einen Binomialkoeffizienten hat sollte man sich den einfach mal aufschreiben und dann kann meistens viel wegkürzen. Hierbei kann man vor allem die Erkenntnis \(n!=n\cdot (n-1)!\) nutzen. Bei der Summe habe ich eigentlich nichts wesentliches gemacht. Wichtig ist hier einfach nur üben und selber ausprobieren, dann kriegt man hierfür ein Gespür.
─
mathejean
30.04.2021 um 20:07
Danke für die kurze und knackige Erklärung! ;-)
Bei einem Binomialkoeffizienten wird ja meistens das n Fakultät gesetzt...Wird es eigentlich deshalb Fakultät gesetzt, da ja n eigentlich in diesem Fall alles mögliche sein kann, oder? Oder nein, es ist ja wegen dem Summenzeichen?
Und dort wo steht << i * (i-1)(i-2)! >>, wie genau bist Du auf das gekommen? Hat es vielleicht was mit auf "gleichen Nenner bringen" zu tun? 😅
─ thepeasant 30.04.2021 um 20:17
Bei einem Binomialkoeffizienten wird ja meistens das n Fakultät gesetzt...Wird es eigentlich deshalb Fakultät gesetzt, da ja n eigentlich in diesem Fall alles mögliche sein kann, oder? Oder nein, es ist ja wegen dem Summenzeichen?
Und dort wo steht << i * (i-1)(i-2)! >>, wie genau bist Du auf das gekommen? Hat es vielleicht was mit auf "gleichen Nenner bringen" zu tun? 😅
─ thepeasant 30.04.2021 um 20:17
Das ist die Erkenntnis die ich eben beschrieben habe. Es gilt \(i!=i(i-1)!=i(i-1)(i-2)!\) Das ganze habe ich so gemacht, um zu kürzen. Deine erste Frage verstehe ich leider nicht
─
mathejean
30.04.2021 um 21:12
Ich habe nun sowie Du gesagt hast den Tipp sowie die Summenformel eingesetzt:
1/4 * ( (n*(n+1)*(2n+1) / 6) - (n^2+n / 2) )
Passt das so? Oder muss/kann/soll ich es noch vereinfachen bzw. umformen? :-]
─ thepeasant 30.04.2021 um 22:32
1/4 * ( (n*(n+1)*(2n+1) / 6) - (n^2+n / 2) )
Passt das so? Oder muss/kann/soll ich es noch vereinfachen bzw. umformen? :-]
─ thepeasant 30.04.2021 um 22:32
Mir fällt gerade auf, dass es \(\frac 1 2\) statt \(\frac 1 4\) sein muss, ich kann meine Antwort aber nicht mehr bearbeiten. Anschließend versuch mal die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
─
mathejean
01.05.2021 um 09:21
Oh kann ja mal passieren, 1/2 deshalb, weil es durch das ganze Kürzen/Umformen entsteht, oder?
Hab' es versucht jeweils auf den gleichen Nenner zu bringen und habe auch ein bisschen umgeformt, sieht es bisher okay aus? :-)
(i) 1/2 * ( (n*(n+1)*(2n+1) / 6) - (n^2+n / 2) )
(ii) 1/2 * ( (n*(n+1)*(2n+1) - (3n^2+ 3n ) / 6 )
(iii) ( ((3n * (n+1)*(2n+1) - (3n^2+ 3n )) / 6 ) <--- hier habe ich 1/2 aufgelöst, daher 3n * (.....)
(iv) ( ((3n^2 + 3n) * (2n+1) - (3n^2+ 3n )) / 6)
(v) ( (6n^3 + 9n^2 + 3n) - (3n^2+ 3n ) / 6 )
(vi) ( 6n^3 + 6n^2 + 6n) / 6 )
─ thepeasant 01.05.2021 um 12:01
Hab' es versucht jeweils auf den gleichen Nenner zu bringen und habe auch ein bisschen umgeformt, sieht es bisher okay aus? :-)
(i) 1/2 * ( (n*(n+1)*(2n+1) / 6) - (n^2+n / 2) )
(ii) 1/2 * ( (n*(n+1)*(2n+1) - (3n^2+ 3n ) / 6 )
(iii) ( ((3n * (n+1)*(2n+1) - (3n^2+ 3n )) / 6 ) <--- hier habe ich 1/2 aufgelöst, daher 3n * (.....)
(iv) ( ((3n^2 + 3n) * (2n+1) - (3n^2+ 3n )) / 6)
(v) ( (6n^3 + 9n^2 + 3n) - (3n^2+ 3n ) / 6 )
(vi) ( 6n^3 + 6n^2 + 6n) / 6 )
─ thepeasant 01.05.2021 um 12:01
1/2 weil 2! = 2 ist und ich hatte eine kleine geistige Entgleisung und hatte daraus 4 gemacht. Nun zur Rechnung nach einsetzen der beiden Formeln hast du $$\frac12\biggr(\frac {n(n+1)(2n+1)}6-\frac{n(n+1)}2\biggl)=\frac12\biggr(\frac {(n+1)(2n^2+n)}6-\frac{3n(n+1)}6\biggl)=\frac 12\biggl(\frac {(2n^2+n-3n)(n+1)}{6}\biggr)=\frac{(2n^2-2n)(n+1)}{12}=\frac{(n^2-n)(n+1)}{6}=\frac {n(n-1)(n+1)}6=\frac {n(n^2-1)}6$$Am Ende habe ich die 3. binomische Formel verwendet
─
mathejean
01.05.2021 um 12:14
Ups, ich glaube Umformen sollte ich wohl mehr üben, ist bei mir wohl ziemlich schief gelaufen...
Naja, ich Danke dir vielmals für Deine Hilfe und Geduld! ;-) ─ thepeasant 01.05.2021 um 12:27
Naja, ich Danke dir vielmals für Deine Hilfe und Geduld! ;-) ─ thepeasant 01.05.2021 um 12:27