$n \times m$ -Matrix invertieren

Aufrufe: 119     Aktiv: 04.06.2022 um 17:01

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Hallo ihr Lieben,
Ich soll zeigen, dass die Funktion $f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x^3-3x+y+y^3\\x^4+5x+8y+y^4 \end{pmatrix}$ in einer Umgebung $U$ um $(0,0)$ invertierbar ist.
Dazu habe ich auch einen Satz aus meiner Vorlesung, der besagt: Wenn $\frac{\partial f}{\partial y}$ in $(a,b)$ invertierbar ist, so ist $\frac{\partial f}{\partial y}$ auch in einer Umgebung $U$ von $(a,b)$ invertierbar.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \begin{pmatrix} 3y^2+1\\4y^3+8 \end{pmatrix}$ , nach einsetzen von (0,0) ergibt sich der Vektor:

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\begin{pmatrix} 1\\8 \end{pmatrix}$

Wie zeige ich hier die Invertierbarkeit? Meine Definitionen die ich dazu kennengelernt habe, beziehen sich alles auf $n \times n$ Matrizen, wie stelle ich das bei $n \times m$ Matrizen an?
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1 Antwort
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Was steht im Satz aus der Vorlesung genau über f und y? Beachte genau Definitions- Wertebereich von f und die Dimension von y. Das muss genau geprüt werden, wenn man den Satz hier verwenden will.
Ich verstehe die Aufgabe so, dass es um 2d-Invertierbarkeit geht, es ist ja auch von einem Punkt (0,0) die Rede, also an einem 2d-Punkt. D.h. wir reden hier von zwei Variablen. Bilde also die Jacobi-Matrix mit beiden Funktionen und beiden Ableitungen, das gibt eine 2x2-Matrix.
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Vielen Dank ersteinmal für deine Antwort.
Ich versuche den Satz mit den Voraussetzungen wiederzugeben:

Seien \( U_{1} \subset \mathbb{R}^{k} \) und \( U_{2} \subset \mathbb{R}^{m} \) offene Teilmengen und
\(F: U_{1} \times U_{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{m}, \quad(x, y) \mapsto F(x, y),\)
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Ist
$$\frac{\partial F}{\partial y}:=\frac{\partial\left(F_{1}, \ldots, F_{m}\right)}{\partial\left(y_{1}, \ldots y_{m}\right)}:=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}
\end{array}\right) $$ invertierbar im Punkt $(a,b)$, so ist es auch invertierbar in einer Umgebung von $(a,b)$.

Deine Anmerkung, bzgl der 2d-invertierbarkeit hat mich auch irritiert. Habe deshalb nochmal nachgefragt und es sollte korrekt heißen: Ich soll zeigen, dass die Funktion $f(x,y)$ in einer Umgebung $U$ um $0$ invertierbar ist.

Die Voraussetzungen vom Satz scheinen mir erfüllt. Dieser fordert allerdings nur die Ableitung in $y$-Richtung. Da weiß ich um ehrlich zu sein nicht, wie ich da die Jacobi-Matrix verwenden sollte, da müsste ich ja auch in $x$- und $x$-$y$- Richtung ableiten.

LG
  ─   laura22 03.06.2022 um 21:52

Es wäre gut, die Aufgabenstellung im Original zu haben (am besten Foto). Du redest davon, dass f invertierbar sein soll, darauf bezog sich auch mein Kommentar. Der Satz, den Du aus der Vorlesung zitierst, sagt aber absolut nichts über die Invertierbarkeit von f aus, sondern nur über die der partiellen Ableitung.
Es ist jetzt wie so oft hier im Forum: Die Aufgabenstellung wird unklar wiedergegeben, eben nicht im Original, sondern vom Frager umgeschrieben. Dadurch laufen die Hilfen oft ins Leere, oder, wie hier, verwirren noch mehr.
Also: Aufgabenstellung bitte als Foto (oben Frage bearbeiten), dann können wir hier sinnvoll weiter zusammen der Lösung entgegengehen.
  ─   mikn 04.06.2022 um 00:13

Ich bin ein Trottel... Die Aufgabenstellung ist so 1 zu 1 wiedergegeben, aber mit dem Satz hast du vollkommen recht. Aus dem Satz über Umkehrfunktionen folgt:

$Df= \begin{pmatrix} 6x^2-3 & 3y^2+1 \\ 4x^3+5 & 16y^3+8 \end{pmatrix}$

$Df(0,0)= \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ und $det\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = -29 \neq 0$

Damit ist das invertierbar.

  ─   laura22 04.06.2022 um 12:13

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Gut. Dann war ja meine erste Antwort doch passend.
In $Df$ muss rechts unten $4\,y^3+8$ stehen.
Und schön, dass Du LaTeX benutzt. Da kann man auch \det anstelle det nehmen (genauso übrigens mit \sin, \cos, \ln usw.)
  ─   mikn 04.06.2022 um 13:02

Ähm ja klar, da hab ich mich vertippt, kommt aufs selbe heraus. Dank für den Tipp mit LateX, den kannte ich noch nicht.   ─   laura22 04.06.2022 um 14:35

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