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Du musst beim Wurzelziehen auf das \( \pm \) achten. Das gilt auch bei komplexen Zahlen.
Die Lösungen von \( -1 = x^2 \) sind also \( x=i \) UND \( x=-i \). Damit hast du dann auch alle Nullstellen.
Eleganter wäre meiner Meinung nach der Weg über die dritte binomische Formel. Wenn \( i^2 = -1 \) ist, dann erhält man die Faktorisierung
\( f(x) = x^2 + 1 = x^2 - (-1) = x^2 - i^2 = (x-i)(x+i) = (x-i)(x-(-i)) \)
Hier kann man jetzt die Nullstellen \( i \) und \( -i \) einfach ablesen.
Die Lösungen von \( -1 = x^2 \) sind also \( x=i \) UND \( x=-i \). Damit hast du dann auch alle Nullstellen.
Eleganter wäre meiner Meinung nach der Weg über die dritte binomische Formel. Wenn \( i^2 = -1 \) ist, dann erhält man die Faktorisierung
\( f(x) = x^2 + 1 = x^2 - (-1) = x^2 - i^2 = (x-i)(x+i) = (x-i)(x-(-i)) \)
Hier kann man jetzt die Nullstellen \( i \) und \( -i \) einfach ablesen.
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Das stimmt. Das wollte ich damit auch nicht sagen, aber auch bei reellen Zahlen gilt \( x^2 = r \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{r} \) (für \( r\ge0 \)). Darauf wollte ich hinaus.
─
42
13.02.2021 um 14:45
i ist als sqrt(-1) definiert und da muss du nicht weiter irgendetwas begründen. ─ mrbrainiac 13.02.2021 um 13:15