Lineares Gleichungssystem im Restklassenkörper

Aufrufe: 246     Aktiv: 14.02.2023 um 16:50

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Hallo,
ich habe die oben stehende Aufgabe zu lösen bin mir aber unsicher beim Ansatz: Mein Idee ist x muss ja ein 6 Zeilen Vektor sein also stelle ich ein LGS mit den einzelnen x1...x6 auf und setze alle drei Gleichungen = 1. Soweit so gut. Aber wie finde ich jetzt alle Lösungen in Z2?

Danke schon eimal!

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Du musst da nichts setzen, die Gleichungen stehen ja. Schon gar nicht werden Gleichungen =1 gesetzt (weil dann stünde ja am Ende =1=1). Überlege mal warum Gleichungen Gleichungen heißen.
Rechne genauso wie in R (ist nur ein anderer Körper). Das ist ein LGS mit 3 Gleichungen und 6 Unbekannten. Rang der Matrix ist 3 (prüfe das!), also hat die Lösungsmenge 3 Freiheitsgrade usw. In R hat die Lösungsmenge unendlich viele Elemente, das ist hier nicht so. Ich komme auf 7 (aber man kann sich leicht verrechnen).
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Okay also habe ich 3 Gleichungen:
x1+x2+x4+x5=1
x3+x6=1
x4+x5=1

Gehe ich nun einfach "manuell" alle Möglichkeiten durch für die die Gleichungen stimmen? Also z.B. wenn x1,x2 und x3=1 dann muss auch x4=1 gelten also erhalte ich den Vektor (1,1,1,1,0,0) usw.?
Und wenn ich diese Vektoren habe, wie genau gebe ich dann die Lösungsmenge an? Beinhaltet diese auch andere Vertreter der Restklasse also z.b. die Lösung (3,3,3,3,0,0)?
  ─   chriss 14.02.2023 um 09:53

Hmm okay also meine Lösungsmenge wäre nun: L(Z,b)={(1-x2-x3-x5, x2, x3, 1-x5, x5,1-x3) : x2,x3,x5 ∈ {0,1}) Wäre das so okay?   ─   chriss 14.02.2023 um 15:59

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