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Hallo,
bei meiner derzeitigen Prüfungsvorbereitung bin ich bei Dgl´s auf ein Problem gestoßen, dass ich am besten an einem Beispiel deutlich machen kann:

Aufgabe: y´- x^2 * y = x^2

Mein Lösungsansatz: y´= x^2 + (x^2 * y)

Daraus folgt: Homogene Lösung: yh = c * e^∫ x^2  

ergiebt integriert: yh = c * e^(x^3/3)

Bis hierhin kein Problem; beim bestimmen der partikulären Lösung gehe ich nach der nachfolgenden Formel vor, die dann auch die partielle Integration beinhält:

yp = yh - ∫ g(x)/yh    -->   yp = e^(x^3/3) -  x^2/e^(x^3/3)    --> umgeschrieben: yp = e^(x^3/3) -  x^2 * e^-(x^3/3)

Nun habe ich hinter dem Integralzeichen eine partielle Integration zu lösen und egal wie ich meine u- und v-Anteile wähle wird dabei die Integration extrem kompliziert und fast unlösbar. Der Integrationsrechner spuckt für  e^-(x^3/3) ein für mich sehr unverständliches Ergebnis aus. Wenn ich allerdings die gesamte partielle Integration dort eingebe, ergibt das genau das Ergebnis, welches mir zusätzlich zu meinem homogenen Anteil noch fehlt; heißt mein Ansatz bzw. die Rechenart ist richtig.
Jetzt habe ich überlegt ob es bei der partiellen Integration oder bei der Integration der e-Funktion einen speziellen Trick gibt, damit die Berechnung auch von Hand passieren kann?

Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen: Danke!
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1 Antwort
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Erstmal ist $y_h$ keine homogene Lösung, sondern die Lösung der zugehörigen homogenen Dgl. Achte auf korrekte Sprechweisen um späterer Verwirrung vorzubeugen.
Dann "hast" du keine partielle Integration zu machen. Es ist deine Entscheidung welche Methode du verwendest. Mit Substitution z.B. wird es ganz leicht.
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Meinst du den Ansatz der Substitution bei der DGL-Rechnung?
Könntest du mir dort den Ansatz bei der oben genannten Rechnung nennen?
  ─   userb35ceb 17.09.2022 um 11:16

Nein, die Substitutionsregel beim Integral.
  ─   mikn 17.09.2022 um 11:32

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