2
Hast Du denn Vermutungen?
Ist ja R^2, Du könntest also eine Skizze machen. Offen ist eine Menge, wenn man um jedes Element der Menge eine Kreisscheibe finden kann, die auch noch komplett in der Menge liegt. Damit sollten die Antworten erstmal klar sein. Und dann schreibt man in Ruhe auf.
Ist ja R^2, Du könntest also eine Skizze machen. Offen ist eine Menge, wenn man um jedes Element der Menge eine Kreisscheibe finden kann, die auch noch komplett in der Menge liegt. Damit sollten die Antworten erstmal klar sein. Und dann schreibt man in Ruhe auf.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 39.83K
Lehrer/Professor, Punkte: 39.83K
sorry verstehe deine Antwort nicht wirklich. Also wenn ich doch einen Punkt in \(K_r(x)\) wähle, dann hat doch der die Eigenschaft, dass dieser Punkt in \(\mathbb{R} ^2\) ist und dass gilt \(d(x,y) < r \). Wieso darfst du nun einfach nur r bei der zweiten Komponente von (1,1) dazuaddieren?
─
karate
27.02.2021 um 23:42
okei also ist das korrekt was ich sage, per def gilt \(K_r(1,1)=\{y \in \mathbb{R}^2: d((1,1),y) < r\}\) dann gilt \(d((1,1),y)=|(1,1)-(1,1+\frac{r}{2})|=|(0,-\frac{r}{2})| < r \Rightarrow (1,1+\frac{r}{2})\in K_r(x)\) da nun aber kein \(k \in \mathbb{N}\ -\{0\} \) existiert so dass \((\frac{1}{k^2},\frac{1}{k^2})=(1,1+\frac{r}{2})\) gilt dass \((1,1+\frac{r}{2}) \notin A\) und wir sind fertig
─
karate
27.02.2021 um 23:54
Und wenn ich nun aber das gezeigt habe dann muss ich unabhängig von diesem noch zeigen ob \(A\) abgeschlossen ist oder nicht, sprich ich muss das selbe Spiel nochmals machen und zeigen dass \(\mathbb{R}^2-A=A^c\) offen ist oder halt nicht.
─
karate
27.02.2021 um 23:59
Ah ja sorry habe ich übersehen gut dann versuche ich das mal und auch (b) und (c) und würde mich sonst gerne nochmals melden vor allem für (c) wenn etwas nicht ganz funktioniert. vielen dank
─
karate
28.02.2021 um 00:06
okei super vielen Dank. Ja du brauchst es dir nicht mehr anzuschauen und danke für den Tipp. Ich denke aber dass ich bei B trotzdem beides zeigen muss, da wir so viel ich weiss in der Vorlesung nur gezeigt haben, dass die Leere menge und die ganze Menge offen ist, und wir wissen also offiziell nicht dass diese beiden die einzigen Mengen sind, die offen und abgeschlossen sind.
─ karate 28.02.2021 um 08:48
─ karate 28.02.2021 um 08:48
Ich hätte da trotzdem noch kurz eine Frage zu (b) da ich ein wenig verunsichert bin, da man ja nicht wirklich "Anhaltspunkte" wie bei (a) hat. Ich versuchte den Beweis der Offenheit per Widerspruch:
Wir nehmen an \(\mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist nicht offen, das heisst \(\exists (a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) so dass \(\forall r >0 \) \(K_r((a,b))\) keine Teilmenge von \(\mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist. Sei also \((a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) und \(r > 0\) beliebig aber fix. Wir wählen \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) mit \((x,y)=(a,b)\). Dabei gilt, dass \(d((a,b),(a,b)) < r, \forall r > 0\) weiter gilt aber, dass \((a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist was zum Widerspruch der Annahme führt.
Nun bin ich aber wirklich skeptisch, da das für mich ein wenig komisch aussieht. Wäre also dankbar wenn Du dir das kurz anschauen könntest. ─ karate 28.02.2021 um 10:43
Wir nehmen an \(\mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist nicht offen, das heisst \(\exists (a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) so dass \(\forall r >0 \) \(K_r((a,b))\) keine Teilmenge von \(\mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist. Sei also \((a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) und \(r > 0\) beliebig aber fix. Wir wählen \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) mit \((x,y)=(a,b)\). Dabei gilt, dass \(d((a,b),(a,b)) < r, \forall r > 0\) weiter gilt aber, dass \((a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist was zum Widerspruch der Annahme führt.
Nun bin ich aber wirklich skeptisch, da das für mich ein wenig komisch aussieht. Wäre also dankbar wenn Du dir das kurz anschauen könntest. ─ karate 28.02.2021 um 10:43
Ja, also das ist doch eigentlich das gesamte Kartesische Koordinatensystem einfach ohne die Punkte die als Einträge jeweils zwei ganze Zahlen haben oder nicht?
Ich sehe einfach nicht was ich da für Eigenschaften benutzen muss, ─ karate 28.02.2021 um 11:51
Ich sehe einfach nicht was ich da für Eigenschaften benutzen muss, ─ karate 28.02.2021 um 11:51
sorry irgendwie stehe ich komplett auf der Leitung bei dieser Aufgabe, ich habe mir nun ein kartesisches Koordinatensystem gezeichnet. Aber es geht doch darum, dass ich zeigen kann, dass es für jeden Punkt in B also alle Punkte die nicht (z,y) mit z,y in Z haben einen Kreis gibt, so dass dieser auch in B liegt, aber das wäre ja z.b. einfach der Inkreis eines solchen Quadrates. Aber irgendwie bringt mir das nichts.
─
karate
28.02.2021 um 12:02
Okei also wenn ich mir nun also so ein kleines Quadrat nehme, dass als Eckpunkte 4 Zahlenpaare besitzt, die aus ganzen Koordinaten sind, dann kann ich einen beliebigen Punkt darin wählen, der einfach nicht auf einer Ecke liegen darf, sonst hat er keine Einschränkung. Dann muss ich für diesen Punkt einen Kreis finden der jeweils kleiner ist als das \( min(d(p,E1), d(p,E2), d(p,E3),d(p,E4)\) wobei E1, E2,E3 und E4 die Eckpunkte sind. Nun haben wir aber die Gaussklammer nicht eingeführt bzw. noch gar nie benutzt also habe ich nicht wirklich eine Ahnung wie ich fortfahren muss.
─
karate
28.02.2021 um 12:20
also mit "kreis kleiner als ..." meine ich den Radius oder hat es da immer noch einen Denkfehler, denn meines Erachtens muss ich doch den Radius kleiner als den Abstand zwischen dem Punkt und der nächst gelegenen Ecke wählen, da es ja sonst immer einen Punkt gibt, der nicht im meiner Menge ist.
─
karate
28.02.2021 um 12:29
Okei also darf ich das so machen:
Wir wählen einen Punkt \(P=(a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\). Aus Analysis I wissen wir, dass \(\forall a \in \mathbb{R} \exists! z \in \mathbb{Z}\) so dass \(z <= a < z+1\) gilt, das gleiche gilt auch für b. Nun folgt daraus, dass es 4 Punkte gibt, nämlich \(E_1=(z,z),E_2=(z,z+1),E_3=(z+1,z),E_4=(z+1,z+1)\) welche ein Quadrat formen, in dem \((a,b)\) liegt. Wir wählen uns nun unseren Radius \(r < min[d(P,E_1),d(P,E_2),d(P,E_3),d(P,E_4)]\). Nun gilt, dass für alle \(y \in K_r(P) \Rightarrow y \in B \Rightarrow\) B ist offen. ─ karate 28.02.2021 um 12:44
Wir wählen einen Punkt \(P=(a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\). Aus Analysis I wissen wir, dass \(\forall a \in \mathbb{R} \exists! z \in \mathbb{Z}\) so dass \(z <= a < z+1\) gilt, das gleiche gilt auch für b. Nun folgt daraus, dass es 4 Punkte gibt, nämlich \(E_1=(z,z),E_2=(z,z+1),E_3=(z+1,z),E_4=(z+1,z+1)\) welche ein Quadrat formen, in dem \((a,b)\) liegt. Wir wählen uns nun unseren Radius \(r < min[d(P,E_1),d(P,E_2),d(P,E_3),d(P,E_4)]\). Nun gilt, dass für alle \(y \in K_r(P) \Rightarrow y \in B \Rightarrow\) B ist offen. ─ karate 28.02.2021 um 12:44
okei aber so wie ich das verstehe ist der grösste Fehler eigentlich das Ich wähle (a,b) und mit Eigenschaft von z der Rest ist einfach Verschönerung und zählt für den Bereich eines schönen Schreibstieles
─
karate
28.02.2021 um 13:01
okei vielen Dank, das werde ich mir also merken!
─
karate
28.02.2021 um 13:11
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Habe meine Idee nochmals oben angehängt ─ karate 27.02.2021 um 23:18