Wie beweise ich dass eine Menge offen bzw. abgeschlossen ist?

Aufrufe: 2366     Aktiv: 28.02.2021 um 13:11

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Hallo Zusammen

Wir haben gerade das Thema Topologie begonnen und ich müsste folgende Aufgabe lösen. Nur leider bin ich ein wenig am verzweifeln, da ich nicht weiss wie ich anfangen soll. Ich habe versucht das ganze über die Definition zu zeigen, habe versucht eine geignete Funktion zu finden um dann über einen Satz das ganze zu zeigen doch irgendwie fehlt mir der springende Punkt. Ich denke dass man gar nicht weit suchen muss doch ich erkenne den Kern dieser Aufgabe bzw. die herangehensweise noch nicht wirklich.

Wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. vielen dank



dies wäre meine Idee für den Beweis über die offenheit von (a)
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Student, Punkte: 1.95K

 
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Hast Du denn Vermutungen?
Ist ja R^2, Du könntest also eine Skizze machen. Offen ist eine Menge, wenn man um jedes Element der Menge eine Kreisscheibe finden kann, die auch noch komplett in der Menge liegt. Damit sollten die Antworten erstmal klar sein. Und dann schreibt man in Ruhe auf.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.48K

 

ja genau also die Definition ist mir bekannt nur irgendwie scheitert es bei der anwendung. Ich habe gedacht, dass a) nicht offen ist. Da wollte ich zeigen dass für x=(1,1) und für alle r>0 gibt es \((a,b)\in K_r(k)\) so dass \(y \notin A\) wobei A die menge in der Aufgabe ist. Dann wollte ich mir (a,b) einfach geschickt wählen sodass gilt \(|(1,1)-(a,b)| < r\) aber \((a,b) \notin A\)

Habe meine Idee nochmals oben angehängt
  ─   karate 27.02.2021 um 23:18

sorry verstehe deine Antwort nicht wirklich. Also wenn ich doch einen Punkt in \(K_r(x)\) wähle, dann hat doch der die Eigenschaft, dass dieser Punkt in \(\mathbb{R} ^2\) ist und dass gilt \(d(x,y) < r \). Wieso darfst du nun einfach nur r bei der zweiten Komponente von (1,1) dazuaddieren?   ─   karate 27.02.2021 um 23:42

okei also ist das korrekt was ich sage, per def gilt \(K_r(1,1)=\{y \in \mathbb{R}^2: d((1,1),y) < r\}\) dann gilt \(d((1,1),y)=|(1,1)-(1,1+\frac{r}{2})|=|(0,-\frac{r}{2})| < r \Rightarrow (1,1+\frac{r}{2})\in K_r(x)\) da nun aber kein \(k \in \mathbb{N}\ -\{0\} \) existiert so dass \((\frac{1}{k^2},\frac{1}{k^2})=(1,1+\frac{r}{2})\) gilt dass \((1,1+\frac{r}{2}) \notin A\) und wir sind fertig   ─   karate 27.02.2021 um 23:54

Und wenn ich nun aber das gezeigt habe dann muss ich unabhängig von diesem noch zeigen ob \(A\) abgeschlossen ist oder nicht, sprich ich muss das selbe Spiel nochmals machen und zeigen dass \(\mathbb{R}^2-A=A^c\) offen ist oder halt nicht.   ─   karate 27.02.2021 um 23:59

Ah ja sorry habe ich übersehen gut dann versuche ich das mal und auch (b) und (c) und würde mich sonst gerne nochmals melden vor allem für (c) wenn etwas nicht ganz funktioniert. vielen dank   ─   karate 28.02.2021 um 00:06

okei super vielen Dank. Ja du brauchst es dir nicht mehr anzuschauen und danke für den Tipp. Ich denke aber dass ich bei B trotzdem beides zeigen muss, da wir so viel ich weiss in der Vorlesung nur gezeigt haben, dass die Leere menge und die ganze Menge offen ist, und wir wissen also offiziell nicht dass diese beiden die einzigen Mengen sind, die offen und abgeschlossen sind.
  ─   karate 28.02.2021 um 08:48

Ich hätte da trotzdem noch kurz eine Frage zu (b) da ich ein wenig verunsichert bin, da man ja nicht wirklich "Anhaltspunkte" wie bei (a) hat. Ich versuchte den Beweis der Offenheit per Widerspruch:
Wir nehmen an \(\mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist nicht offen, das heisst \(\exists (a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) so dass \(\forall r >0 \) \(K_r((a,b))\) keine Teilmenge von \(\mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist. Sei also \((a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) und \(r > 0\) beliebig aber fix. Wir wählen \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) mit \((x,y)=(a,b)\). Dabei gilt, dass \(d((a,b),(a,b)) < r, \forall r > 0\) weiter gilt aber, dass \((a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\) ist was zum Widerspruch der Annahme führt.

Nun bin ich aber wirklich skeptisch, da das für mich ein wenig komisch aussieht. Wäre also dankbar wenn Du dir das kurz anschauen könntest.
  ─   karate 28.02.2021 um 10:43

Ja, also das ist doch eigentlich das gesamte Kartesische Koordinatensystem einfach ohne die Punkte die als Einträge jeweils zwei ganze Zahlen haben oder nicht?
Ich sehe einfach nicht was ich da für Eigenschaften benutzen muss,
  ─   karate 28.02.2021 um 11:51

sorry irgendwie stehe ich komplett auf der Leitung bei dieser Aufgabe, ich habe mir nun ein kartesisches Koordinatensystem gezeichnet. Aber es geht doch darum, dass ich zeigen kann, dass es für jeden Punkt in B also alle Punkte die nicht (z,y) mit z,y in Z haben einen Kreis gibt, so dass dieser auch in B liegt, aber das wäre ja z.b. einfach der Inkreis eines solchen Quadrates. Aber irgendwie bringt mir das nichts.   ─   karate 28.02.2021 um 12:02

Okei also wenn ich mir nun also so ein kleines Quadrat nehme, dass als Eckpunkte 4 Zahlenpaare besitzt, die aus ganzen Koordinaten sind, dann kann ich einen beliebigen Punkt darin wählen, der einfach nicht auf einer Ecke liegen darf, sonst hat er keine Einschränkung. Dann muss ich für diesen Punkt einen Kreis finden der jeweils kleiner ist als das \( min(d(p,E1), d(p,E2), d(p,E3),d(p,E4)\) wobei E1, E2,E3 und E4 die Eckpunkte sind. Nun haben wir aber die Gaussklammer nicht eingeführt bzw. noch gar nie benutzt also habe ich nicht wirklich eine Ahnung wie ich fortfahren muss.   ─   karate 28.02.2021 um 12:20

also mit "kreis kleiner als ..." meine ich den Radius oder hat es da immer noch einen Denkfehler, denn meines Erachtens muss ich doch den Radius kleiner als den Abstand zwischen dem Punkt und der nächst gelegenen Ecke wählen, da es ja sonst immer einen Punkt gibt, der nicht im meiner Menge ist.   ─   karate 28.02.2021 um 12:29

Okei also darf ich das so machen:

Wir wählen einen Punkt \(P=(a,b) \in \mathbb{R}^2 - \mathbb{Z}^2\). Aus Analysis I wissen wir, dass \(\forall a \in \mathbb{R} \exists! z \in \mathbb{Z}\) so dass \(z <= a < z+1\) gilt, das gleiche gilt auch für b. Nun folgt daraus, dass es 4 Punkte gibt, nämlich \(E_1=(z,z),E_2=(z,z+1),E_3=(z+1,z),E_4=(z+1,z+1)\) welche ein Quadrat formen, in dem \((a,b)\) liegt. Wir wählen uns nun unseren Radius \(r < min[d(P,E_1),d(P,E_2),d(P,E_3),d(P,E_4)]\). Nun gilt, dass für alle \(y \in K_r(P) \Rightarrow y \in B \Rightarrow\) B ist offen.
  ─   karate 28.02.2021 um 12:44

okei aber so wie ich das verstehe ist der grösste Fehler eigentlich das Ich wähle (a,b) und mit Eigenschaft von z der Rest ist einfach Verschönerung und zählt für den Bereich eines schönen Schreibstieles   ─   karate 28.02.2021 um 13:01

okei vielen Dank, das werde ich mir also merken!   ─   karate 28.02.2021 um 13:11

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