Hallo

Zu a):
Genau also du must eigentlich prüfen, dass alle möglichen Vereinigungen von Elementen von $\mathcal{F}$ wieder in $\mathcal{F}$ liegen. Das heisst du musst alle möglichen Kombinationen von Elementen $A_i\in \mathcal{F}$ nehmen und dann schauen ob $\bigcup_{i\in I} A_i \in \mathcal{F}$.

Nun hast du aber einen Denkfehler gemacht. Denn betrachten wir mal $$\emptyset \cup \{a\}\cup \{b,c,d,e\} \cup \Omega$$ das gibt dann aber $\Omega$ da $\emptyset ,\{a\},\{b,c,d,e\} \subset \Omega$, und $\Omega\in \mathcal{F}_1$. 

Nun zu der kleinsten $\sigma$-algebra. Ich möchte dir hier ein wenig Theorie mit auf den Weg geben, da ich das noch ziemlich nützlich finde zu wissen, falls ihr es noch nicht gehabt habt, wird das sicherlich noch kommen. Beachte, dass du diese Theorie für die Aufgabe nicht benötigst. Trotzdem ist z.B. der Beweis des Lemmas eine gute Übung da du schön die Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra anwenden kannst.
Wir können folgendes Lemma beweisen:

Lemma
Seien $A_i\subset P(\Omega)$ für alle $i\in I$ eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$. Dann ist $$\mathcal{F}:=\bigcap _{i\in I} A_i$$ auch eine $\sigma$ -Algebra.

Beweis
Wir müssen folgende drei Punkte beweisen:

1. $\emptyset \in \mathcal{F}$
2. $\forall A\in \mathcal{F}\Rightarrow A^c=\Omega\setminus A\in \mathcal{F}$
3. Sei $J$ eine abzählbare Indexmenge und $A_j\in \mathcal{F}$ für alle $j\in J$. Dann gilt $\bigcup_{j\in J} A_j\in \mathcal{F}$

Versuche diese Punkte selber mal zu beweisen ist eine gute Übung.
                                                                                                                                                                  $\Box$ 

Nun wenn wir diese Lemma haben können wir folgende Definition/Theorem aufschreiben:

Definition:
Ist $C\subset P(\Omega)$ eine beliebige Klasse von Teilmengen von $\Omega$, so gibt es eine kleinste $\sigma$-Algebra, die $C$ enthält. Diese heisst die von $C$ erzeugte $\sigma$-Algebra und wird bezeichnet mit $$\langle C\rangle ^{\sigma}=\sigma(C)=\bigcap_{A-\sigma-\text{Algebra},\\ C\subset A} A$$

Wenn wir uns nun also deinem Beispiel widmen. Wie schon erwähnt benötigst du dafür die Theorie von oben nicht.

Bemerkung:
Wenn ihr später z.B. die Borelsche-$\sigma$-Algebra auf $\Bbb{R}^d$ $\left(\mathcal{B}(\Bbb{R}^d)\right)$ konstruieren werded, so werded ihr sehen, dass diese die kleinste $\sigma$-Algebra ist, die von den offenen Mengen in $\Bbb{R}^d$ erzeugt wird. Also $$\mathcal{B}(\Bbb{R}^d)=\langle \text{"alle offenen Mengen in }\Bbb{R}^d"\rangle^{\sigma}=\sigma(\text{"alle offenen Mengen in }\Bbb{R}^d")$$ Aber darüber wirst du sicher noch etwas hören. Ich wollte dir das nur zeigen, damit du siehst für was man die Definition dann wirklich braucht.

Wir suchen eine $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}_3$ die $\{a\}, \{c,d\}$ beinhaltet und möglichst klein ist. Na gut also ich würde vorschlagen du startest mal mit dem was du weisst, ich meine $\emptyset, \Omega, \{a\}, \{c,d\}$ müssen sicherlich in $\mathcal{F}_3$ vorkommen. Nun schaust du welche Elemente du minimal noch dazufügen musst, um eine $\sigma$-Algebra zu erhalten. Versuch das mal und schreib die Lösung doch unten hin. Dann können wir gerne weiterdisktutieren.

Ich hoffe das hilft so weiter.

Viele Grüsse und viel Erfolg

Karate