Sigma-Algebra beweisen und bilden

Aufrufe: 650     Aktiv: 20.10.2022 um 09:10

0


Ich habe zwei Fragen zu dieser Aufgabe.

a) Das $\Omega$ in beiden $\sigma$-Algebren enthalten ist, ist klar. Auch das die Komplemente der einzelnen Elemente in beiden Algebren enthalten sind, sieht man gut. Ich habe Probleme mit dem Konzept, dass die Vereinigung einer unendlichen Anzahl (wobei hier ja endlich) Elemente (bei diesen handelt es sich ja um Mengen) einer $\sigma$-Algebra in dieser $\sigma$-Algebra enthalten sein muss.
Bilde ich hier bei $F_{1}$ die Vereinigung aller Elemente kommt ja {$\emptyset$,a,b,c,d,e,$\Omega$} heraus, was allerdings kein Element von $F_{1}$ ist?

b) Wie genau bilde ich eine kleinste $\sigma$-Algebra?
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 79

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Hallo

Zu a):
Genau also du must eigentlich prüfen, dass alle möglichen Vereinigungen von Elementen von $\mathcal{F}$ wieder in $\mathcal{F}$ liegen. Das heisst du musst alle möglichen Kombinationen von Elementen $A_i\in \mathcal{F}$ nehmen und dann schauen ob $\bigcup_{i\in I} A_i \in \mathcal{F}$.

Nun hast du aber einen Denkfehler gemacht. Denn betrachten wir mal $$\emptyset \cup \{a\}\cup \{b,c,d,e\} \cup \Omega$$ das gibt dann aber $\Omega$ da $\emptyset ,\{a\},\{b,c,d,e\} \subset \Omega$, und $\Omega\in \mathcal{F}_1$. 

Nun zu der kleinsten $\sigma$-algebra. Ich möchte dir hier ein wenig Theorie mit auf den Weg geben, da ich das noch ziemlich nützlich finde zu wissen, falls ihr es noch nicht gehabt habt, wird das sicherlich noch kommen. Beachte, dass du diese Theorie für die Aufgabe nicht benötigst. Trotzdem ist z.B. der Beweis des Lemmas eine gute Übung da du schön die Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra anwenden kannst.
Wir können folgendes Lemma beweisen:

Lemma
Seien $A_i\subset P(\Omega)$ für alle $i\in I$ eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$. Dann ist $$\mathcal{F}:=\bigcap _{i\in I} A_i$$ auch eine $\sigma$ -Algebra.


Beweis
Wir müssen folgende drei Punkte beweisen:
  1. $\emptyset \in \mathcal{F}$
  2. $\forall A\in \mathcal{F}\Rightarrow A^c=\Omega\setminus A\in \mathcal{F}$
  3. Sei $J$ eine abzählbare Indexmenge und $A_j\in \mathcal{F}$ für alle $j\in J$. Dann gilt $\bigcup_{j\in J} A_j\in \mathcal{F}$

Versuche diese Punkte selber mal zu beweisen ist eine gute Übung.
                                                                                                                                                                  $\Box$ 

Nun wenn wir diese Lemma haben können wir folgende Definition/Theorem aufschreiben:

Definition:
Ist $C\subset P(\Omega)$ eine beliebige Klasse von Teilmengen von $\Omega$, so gibt es eine kleinste $\sigma$-Algebra, die $C$ enthält. Diese heisst die von $C$ erzeugte $\sigma$-Algebra und wird bezeichnet mit $$\langle C\rangle ^{\sigma}=\sigma(C)=\bigcap_{A-\sigma-\text{Algebra},\\ C\subset A} A$$

Wenn wir uns nun also deinem Beispiel widmen. Wie schon erwähnt benötigst du dafür die Theorie von oben nicht.

Bemerkung:
Wenn ihr später z.B. die Borelsche-$\sigma$-Algebra auf $\Bbb{R}^d$ $\left(\mathcal{B}(\Bbb{R}^d)\right)$ konstruieren werded, so werded ihr sehen, dass diese die kleinste $\sigma$-Algebra ist, die von den offenen Mengen in $\Bbb{R}^d$ erzeugt wird. Also $$\mathcal{B}(\Bbb{R}^d)=\langle \text{"alle offenen Mengen in }\Bbb{R}^d"\rangle^{\sigma}=\sigma(\text{"alle offenen Mengen in }\Bbb{R}^d")$$ Aber darüber wirst du sicher noch etwas hören. Ich wollte dir das nur zeigen, damit du siehst für was man die Definition dann wirklich braucht.

Wir suchen eine $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}_3$ die $\{a\}, \{c,d\}$ beinhaltet und möglichst klein ist. Na gut also ich würde vorschlagen du startest mal mit dem was du weisst, ich meine $\emptyset, \Omega, \{a\}, \{c,d\}$ müssen sicherlich in $\mathcal{F}_3$ vorkommen. Nun schaust du welche Elemente du minimal noch dazufügen musst, um eine $\sigma$-Algebra zu erhalten. Versuch das mal und schreib die Lösung doch unten hin. Dann können wir gerne weiterdisktutieren.

Ich hoffe das hilft so weiter.

Viele Grüsse und viel Erfolg

Karate

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 1.95K

 

Vielen Dank für die tolle Antwort, sie hilft mir sehr!

Zu a):
Für $F_1$ habe ich jetzt alle möglichen Vereinigungen gebildet und so gezeigt, dass es sich um eine $\sigma$-Algebra handelt.
Könnte man für $F_2$ argumentieren, dass auch dort jegliche Vereinigungen wieder in $F_2$ sind, da es in keiner dieser Menge ein Element gibt, dass nur in dieser entsprechenden Menge vorkommt? Oder muss ich auch dort die Schreibarbeit leisten und alle Vereinigungen von Hand bilden?

Zu b):
Wir wissen, dass $\emptyset$, $\Omega$, {$a$}, {$c,d$} in $F_3$ sind. Meine Überlegung: Es müssen die Komplemente alle dieser Mengen in $F_3$ sein. Also für {$a$} wäre dies {$b,c,d,e$}, für {$c,d$} ist es {$a,b,e$}. Zudem müssen die Vereinigungen aller möglichen Kombinationen dieser Mengen in $F_3$ sein. Dadurch kommt noch dazu {$a$}$\cup${$c,d$}={$a,c,d$} und auch dessen Komplement {$b,e$}. Somit hätten wir $F_3$={$\emptyset$, $\Omega$, {$a$}, {$c,d$}, {$b,c,d,e$}, {$a,b,e$}, {$a,c,d$}, {$b,e$}}. Stimmt das so?
  ─   jonase.gluch 20.10.2022 um 08:39

Hallo

Das habe ich sehr gerne gemacht! Habe mich gefreut, dass auch einmal eine solche Frage hier gestellt wird.

Also zu deiner ersten Frage. Ich glaube du musst das nochmal schön hinschreiben, denn so wie du das formuliert hast verstehe ich es so, dass jede Menge mindestens ein Element beinhaltet, welches in allen anderen auch enthalten ist. Aber wenn wir $\{a\}, \{c,d,e\}$ anschauen dann ist $ \{a\}\cap \{c,d,e\}=\emptyset$ aber $ \{a\}\cup \{c,d,e\}=\emptyset=\{a,c,d,e\}\in \mathcal{F}_2$. Nun sehe ich leider keinen anderen Weg. Also entweder kannst du dein Argument gut ausformulieren oder du musst dir wieder die Verienigungen anschauen. Dabei kannst du aber ein wenig schlau vorgehen, denn alle Vereinigungen mit $\Omega$ sind sowieso wieder $\Omega$ (siehe Antwort zur ursprünglichen Frage a) ) gleichweise spielt es keine Rolle ob du in deiner Vereinigung $\emptyset$ dabei hast. Dann must du dir nur noch die restlichen Vereinigungen anschauen, aber auch da kannst schlau vorgehen.
Aber ich glaube du kommst bei solchen Aufgaben nicht darum herum. Ich denke diese Aufgaben sind dazu da um dich mit der Definition arbeiten zu lassen.

Nun zu deiner zweiten Frage, genau so hätte ich auch argumentiert, und ich wäre auf das gleiche gekommen, solange ich da nichts übersehen habe!

Hilft das so weiter?

Falls du noch weitere Fragen in Masstheorie hast, dann kannst du diese natürlich wieder hier im Forum stellen und ich hoffe dass ich sie dann auch sehen werde oder du auch von anderen Helfern komptetente Antworten bekommst, wobei dieses Thema schon sehr fortgeschritten ist!
  ─   karate 20.10.2022 um 09:10

Kommentar schreiben