Polynomiale Abbildungen, Niveaumengen, Differential

Aufrufe: 223     Aktiv: 12.05.2023 um 01:07

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Hallo

Ich habe Schwierigkeiten mit diesen Übungen, ich verstehe einfach nicht, wie ich sie lösen soll :/ Man hat mir gesagt, ich muss sie zweimal ableiten, aber ich weiss nicht, was es mit den Niveaumengen zu tun hat. Es wäre super, wenn jemand mir ein bisschen helfen könnte :)

Vielen Dank im Voraus


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Student, Punkte: 12

 
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Warum rechnest Du nicht einfach die Niveaumengen aus? Stattdessen beschäftigst Du Dich mit dem, was "man" Dir gesagt hat. Ich weiß auch nicht, was das mit zweiten Ableitungen zu tun haben soll (oder mit Ableitungen überhaupt), aber das sollte nicht Dein Problem sein.
Also, erstmal selbst rechnen. Fragen kann man dann, wenn man damit nicht weiterkommt. Aber nicht bevor man es selbst probiert hat.
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Ich weiß einfach nicht, wie man Niveaumengen berechnet, das steht nicht in meiner Vorlesung und habe auch im Internet keine Erklärung gefunden die ich verstehen konnte, also kann ich nicht mit den Rechnungen beginnen.   ─   lina1991 11.05.2023 um 14:14

Es steht alles da: Die erste Niveaumenge ist $f^{-1}(0)$. Was heißt das? Wie ist diese Schreibweise definiert? Das steht sicher in Deiner Vorlesung, kann ne Weile zurückliegen. Vielleicht sogar bis in der Vorkurs.
Anderer Zugang wäre: Warum heißen die Dinger denn wohl "Niveaumengen"? Je nach geometrischer Form sagt man manchmal auch "Höhenlinien"? Warum denn? Ohne Internet bitte, selbst denken bringt den Erfolg.
  ─   mikn 11.05.2023 um 14:30

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Hier hast du zwei Aufgaben. Beide haben ZUNÄCHST nichts miteinander zu tun: 

1)Die Niveaumenge beschreiben. Dafür brauchst du, wie mikn schon bemerkt hat, keine Ableitungen. Es handelt sich nur um Urbilder! 

2)Überprüfen, wo das Differential verschwindet. Berechne hierfür erstmal das Differential (oder von mir aus den Gradienten, wenn man nicht so genau hinschaut) deiner Funktionen. Verschwindet dieser in Punkten in der Menge $f^{-1}(q)$? Hier kommt die ERSTE "Ableitung" ins Spiel und damit im weitesten Sinne auch das, was dir gesagt wurde.

 

Hier bist du fertig, wenn du nur die Aufgabe lösen wolltest. Warum das gemacht/gefragt wird?

Das ganze hängt mit dem sogenannten Satz vom regulären Wert zusammen. Für den Fall einer Abbildung $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ besagt der, dass $f^{-1}(q)$ für $q \in \mathbb{R}$ eine Mannigfaltigkeit ist,  dann wenn $df$ auf der Menge $f^{-1}(q)$ surjektiv ist (was äquivalent zu nicht-null in diesem Fall ist). Eine Mannigfaltigkeit ist im weitesten Sinne ein "glattes geometrisches Objekt", dazu zählen dann Kugel, Torus, Kreise, etc....

Sprich sobald das Differential nicht $0$ ist, so ist das von dir in Schritt 1 beschriebene Objekt eine Mannigfaltigkeit.

 

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