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Aufgabe:
Man zeige, dass eine Menge \(O ⊆ \mathbb{R}^2\) bzgl. der Euklidischen Metrik \(d_{2}\) offen ist genau dann, wenn \(O\) offen ist bzgl. der Maximums-Metrik \(d_{\infty}\)

Frage:
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man diese Aufgaben angehen soll?
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Zeige zunächst, dass die Normen äquivalent sind, also dass es Konstanten $c,C>0$ gibt, sodass für alle $x,y\in\mathbb R^2$ die Ungleichungen $$c d_2(x,y)<d_\infty(x,y)<Cd_2(x,y)$$ gelten. Sei $B^d_\delta(x)$ der offene Ball mit Mittelpunkt $x$ und Radius $\delta$ bezüglich der Norm $d$. Aus obigen Ungleichungen folgen sofort die Inklusionen $$B^{d_2}_{\delta/C}(x)\subseteq B_\delta^{d_\infty}(x)\subseteq B_{\delta/c}^{d_2}(x)$$ für alle $x\in\mathbb R^2$ und $\delta>0$. Überleg dir, wie daraus die Behauptung folgt.
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