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Wir substituieren \( u=ln(x) \) und betrachten die Funktion \( f(u) = u^2 - u - 2\). Diese Funktion hat ihre beiden Nullstellen bei \( -1 \) und \( 2 \). Außerdem gilt \( f(-2) > 0 \), \( f(0) < 0 \) und \( f(3) > 0 \). Also gilt wegen der Stetigkeit von \(f\) die Ungleichung \( f(u) < 0 \) genau dann, wenn \( u \in (-1,2) \) ist. Durch Rücksubstitution erhalten wir also \( ln^2(x) - ln(x) - 2 < 0 \) bzw. \( ln^2(x) - ln(x) + 1 < 3 \) genau dann, wenn \( ln(x) \in (-1,2) \) bzw. \( x \in (e^{-1},e^2) \) ist.
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Student, Punkte: 7.02K
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Durch die Stetigkeit von \(f\) ist die Ungleichung \(f(u)<0\) für \(u \in (-1,2) \) noch unbewiesen. Zu zeigen ist, dass eine Stammfunkktion \(F(u)\) von \(f(u)\) auf \(u \in (-1-2)\) monoton fallend ist \( \Rightarrow f(u) \leq 0\). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra weiß man außerdem, dass auf \(u \in (-1,2) \Rightarrow f(u) \neq 0\) ist, da die 2 Nullstellen zum Polynom 2. Grades bereits gefunden wurden. \( \Rightarrow f(u)<0\)
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madmaxwell
11.05.2020 um 01:38
Doch, die Stetigkeit reicht hier sehr wohl aus. Wir wissen, dass es im Intervall \( (-1,2) \) einen Wert gibt, der kleiner als Null ist. Gäbe es dort nun auch einen Wert, der größer/gleich Null ist, dann müsste es nach dem Zwischenwertsatz in dem Intervall auch eine Nullstelle geben. Aber wir wissen ja, dass keine von den Nullstellen dort liegt. Also müssen alle Werte im besagten Intervall negativ sein. (Mit einer analogen Begründung müssen die Werte in den Intervallen \( (- \infty, -1] \) und \( [2, \infty) \) nicht-negativ sein.)
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42
11.05.2020 um 23:04
Ups ja das stimmt. An den Zwischenwertsatz habe ich nicht gedacht sry.
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madmaxwell
12.05.2020 um 20:53
Außerdem ist das einfach eine nach oben offene verschobene Normalparabel. Da weiß man, dass die Werte zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv sind. Man soll hier eine Ungleichung lösen, keinen Beweis führen.
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digamma
12.05.2020 um 21:31