Zunächst mal können wir für diesen Teil die $t$-Abhängingkeit komplett ignorieren.Wir können deine Frage als Theorem umformulieren:

Sei $f \in C^{\infty}(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ eine Lipschitz-stetige Funktion mit $\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=0$. Dann gilt bereits

$$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\partial f(x)}{\partial x}=0.$$

Beweisen würde ich das wie folgt:

Angenommen, die Aussage gilt nicht. Das heißt, für für ein $\epsilon >0$ können gibt es IMMER ein beliebig großes $R>0$, so dass $|\frac{\partial f(x)}{\partial x}|>\epsilon > 0$ für ein $x \in \mathbb{R}$ gilt mit $|x|>R$. Aufgrund der Stetigkeit gilt dies auch in einer Umgebung $B_\delta(x)$. Sei nun obdA $C=\frac{\partial f(x)}{\partial x}>0$. Da $f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante $L$ ist, und damit nicht beliebig schnell fallen kann, gilt dass

$$\frac{C-\epsilon}{L}<\delta.$$

Beweis das oder mal ein Bild, das sollte aufgrund von "maximaler" Steigung denke ich gut ersichtlich sein. Somit gilt für das Maß der Menge, wo $|\frac{\partial f(x)}{\partial x}|>\epsilon$, dass dieses also mindestens $2\frac{C-\epsilon}{L}$ beträgt. Inbesonder gilt für den entsprechenden Wert von $f$

$$f(x+\delta)-f(x-\delta)=\int_{x-\delta}^{x+\delta} \frac{\partial f(y)}{\partial y}dy \geq \epsilon 2\delta.$$

Da aber auch $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ gilt, muss inbesonder für ein gegebenes $\alpha>0$ ein $R'>0$ existieren, so dass $|f(x)|<\alpha$ für alle $|x|>R'$ gilt. Also inbesondere muss dann

$$f(x+\delta)-f(x-\delta) \leq 2 \alpha.$$

Damit gilt aber auch dass

$$2 \epsilon \delta \leq 2 \alpha,$$
was einen Widerspruch für $\alpha$ klein genug erzeugt.