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Da \(y_n\to\infty\), gibt es für jedes \(N\in\mathbb N\) ein \(n_N\in\mathbb N\), sodass \(y_{n}>N^2\) für alle \(n\geq n_N\).
Da \(x_n\not\to0\), gibt es für jedes \(N\in\mathbb N\) ein \(n'_N\geq n_N\) mit \(|n_N'|\geq\frac1N\), zusammen mit \(x_n<0\) folgt \(x_N'\leq-\frac1N\).
Betrachte nun die Folge \((x_{n_N'}y_{n_N'})_{N\in\mathbb N}\).
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stal
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wie kommt man auf die N^2 ?
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lawena
20.01.2021 um 11:01
Ich wollte halt das Produkt mit \(-N\) abschätzen. Also brauche ich zwei Faktoren, deren Produkt \(-N\) ergibt und die konsistent mit den gegebenen Bedingungen sind. Natürlich gibt es viele andere Möglichkeiten als \(N^2\) und \(-\frac1N\), z.B. \(N\cdot2^N\) und \(2^{-N}\), auch \(N\) und \(\frac1{\sqrt N}\) funktionieren.
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stal
20.01.2021 um 11:10
und wie baut man das mit den teilfolgen ein ?
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lawena
20.01.2021 um 11:43
Na, du hast jetzt die Teilfolge \((x_{n_N'}y_{n_N'})_N\). Kannst du zeigen, das sie bestimmt nach \(-\infty\) divergiert?
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stal
20.01.2021 um 11:45
ich wüsste nicht ganz wie :(
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lawena
20.01.2021 um 11:48
Naja, per Definition müssen wir zeigen \(\forall M\in\mathbb N\exists K\in\mathbb N\forall N\geq K:x_{n_N'}y_{n_N'}\leq -M\) (oder so ähnlich, je nachdem, wie ihr das genau definiert habt). Aber wir können einfach \(K:=M\) wählen, denn für \(N\geq M\) gilt $$x_{n_{N}'}y_{n_N'}\leq-\frac1N\cdot N^2=-N\leq -M.$$
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stal
20.01.2021 um 12:01
achso und daraus folgt dann dass sie gegen - unendlich gehen ?
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lawena
20.01.2021 um 12:10