Bei der zweiten Aufgabe musst du zuerst die Logarithmen mithilfe der Logarithmengesetze zusammenfassen. Es gilt nämlich \(\log a - \log b = \log \frac a b\). Wenn du dies hier anwendest erhälst du $$\ln x - \ln 4 = \ln 35 - \ln x+4 \Leftrightarrow \ln \frac x 4 = \ln \frac {35}{x+4}$$Jetzt kannst du wie in der ersten Aufgabe mit \(e\) weiterrechnen.

Bei der ersten Gleichung kann es gar keine Lösung geben. Der Ausdruck \( \ln(3-x) \) ist nur für \( x<3 \) wohldefiniert und der Ausdruck \( \ln(x-5) \) ist nur für \( x>5 \) wohldefiniert. Es kann aber nicht gleichzeitig \( x<3\) und \(x>5\) sein. Somit ist \( L=\emptyset \).

Bei der zweiten Gleichung hast du den klassischen Fehler gemacht: Die e-Funktion muss auf die komplette Seite angewendet werden und nicht auf die einzelnen Terme.

Wenn man bei \( \ln(x)-\ln(4) = \ln(35)-\ln(x+4) \) auf beiden Seiten die e-Funktion anwendet, dann erhält man \( e^{\ln(x)-\ln(4)} = e^{\ln(35)-\ln(x+4)} \) und nicht \( e^{\ln(x)}-e^{\ln(4)} = e^{\ln(35)}-e^{\ln(x+4)} \).

Außerdem scheint die Lösung, die du hast, falsch zu sein. Entsprechend der Potenzgesetze kann man die Gleichung \( e^{\ln(x)-\ln(4)} = e^{\ln(35)-\ln(x+4)} \) umformen zu \( \frac{e^{\ln(x)}}{e^{\ln(4)}} = \frac{e^{\ln(35)}}{e^{\ln(x+4)}} \) und dann weiter zu \( \frac{x}{4} = \frac{35}{x+4} \). Mit weiteren Umformungen erhält man dann die quadratische Gleichung \( x^2+4x-140 = 0 \). Diese hat die Lösungen \( x=-14 \) und \( x=10 \). Für \( x=-14 \) ist jedoch \( \ln(x) \) nicht wohldefiniert und somit scheidet das als Lösung aus. Bleibt noch \( x=10 \). Mit einer Probe kann man dann sehen, dass dies tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist. Es ist also \( L=\{10\} \).