Hausdorff, quasi-kompakt

Aufrufe: 430     Aktiv: 01.05.2021 um 18:57

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Mir geht es darum, den Beweis zu  verstehen. Ab der zweiten Seite bei ´´ wir setzen ˋˋ fängt das Unverständnis an, und zwar ist mir da unklar, wieso das hier so gesteht wird und wieso in den letzen beiden Zeilen nun ein z existiert?
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Was "wird hier so gesteht"?

Hast du dir schon eine Zeichung von dem Satz gemacht? Also ein Schaubild mit den Mengen \(X,Y,O_{x,Y}, O'_{x,Y}\) und dem Element \(x\)?

Um ein Fragezeichen aus dem Skript auszuräumen, das \(-\) steht für Mengendifferenz. Also \(x\in X-Y = X\backslash Y \Leftrightarrow x\in X \wedge x\notin Y  \)

Das \(z\) steht da nur als Laufvariable in der Indexmenge \(J\). Der Schreiber wollte nicht nochmal \(y\) verwenden, weil das \(y\) bereits in dem Term vorkommt.
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Huch Entschuldigung ich meinte
Wieso das nach wir setzten so gewählt wird

Zu dem Schaubild :
x ist der Punkt, um x ist die offene Menge O, und dann existiert die Menge Y um die die offene Menge O‘ liegt
X ist theoretisch die komplette Menge der Zeichnungen da beide Offene Mengen in X liegen

  ─   katharinawagner 30.04.2021 um 15:29

Wie kann ich deine Zeichnung sehen?
Naja, das wird schon stimmen. Ich habe mir eine gemacht und dann fand ich das nicht mehr besonders schwer zu verstehen. Beachte, dass x nicht in O' liegen darf. Das heißt O' umfasst ganz Y aber nicht x und O enthält zwar x aber kein Element in Y.
Ferner sollen O und O' sogar disjunkt sein.
  ─   cunni 30.04.2021 um 15:55

Aber wieso wird oben einmal der Schnitt und einmal die Vereinigung gewählt ?

Ich hatte versucht ein Bild anzuhängen, nur leider konnte ich die Frage im Nachhinein nicht mehr bearbeiten
  ─   katharinawagner 01.05.2021 um 14:48

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1
Ein " wieso wird oben einmal der Schnitt und einmal die Vereinigung gewählt ? " hilft mir irgendwie nicht weiter, von welchem Stand ich dich nun abholen soll.
Ich weiß bei so einer allgemeinen Frage nicht
  • ob du der Argumentation nicht folgen kannst, warum die mit dem Schnitt und der Vereinigung erstellten Mengen \(O\) und \(O'\) der Behauptung genügen
  • ob du Schwierigkeiten hast einzusehen, dass man das so kompliziert machen muss.
  • ob du einfach generell keine Vorstellung davon hast was dieser Schnitt und die Vereinigung bedeuten.
Ich beantworte mal die drei Fragen sporadisch, möchte dich aber darum bitten deine zukünftigen Fragen zu präzisieren. Es ist Extraaufwand, weil ein Teil meiner Antwort dich möglicherweise nicht interessiert.

1.)
Warum erfüllen die so erstellen Mengen \(O,O'\) die Behauptung?
Beantworte dir einfach folgende Teilfragen:
  1. Warum ist \(O'\supset Y\)?
  2. Warum ist \(O'\) offen?
  3. Warum gilt \(x\notin O'\)?
  4. Warum gilt \(x\in O\)?
  5. Warum ist \(O\) offen? Diese Frage ist schwerer als sie aussieht, da Schnitte offener Mengen nicht zwangsläufig wieder offen sind. Siehe \( \bigcap_{k\in \mathbb N_{>2}} (-\frac{1}{k};1+\frac{1}{k}) = [0;1] \)
  6. Das ist die Wichtigste: Warum gilt \( O\cap O' = \varnothing \)
Hast du bei einer dieser Fragen Schwierigkeiten sie einzusehen? Dann sage mir welche.
2.)
Falls du Schwierigkeiten hast einzusehen, warum die Existenz dieser \(O\) und \(O'\) nicht trivial sind:
Stelle dir unter \(Y\) eine abgeschlossene Menge vor. \(O'\) soll aber eine offene sein, die \(Y\) sogar überdeckt (\(O'\supseteq Y\)).
Das heißt es kommen neue Elemente hinzu. Frage: Vielleicht ist das \(x\) ja jetzt mit in diese Menge geraten. Du musst also bei der Erstellung von \(O'\) ausschließen, dass das passiert. Mehr noch: Es soll sogar um \(x\) herum eine offene Menge \(O\) geben, die disjunkt zu \(O'\) ist. Die Menge \(X\backslash \{x\}\) geht also nicht, denn dann hat \(x\) keine Umgebung!
Das bedeutet: \(x\) darf auch nicht auf dem Rand von \(O'\) liegen.
Klar, dass es dafür eines formalen Beweises bedarf.

3.)
Ich habe dir mal eine Zeichung mit meinen meisterhaften(!) Künsten in Microsoft Paint gemacht (bitte mach mir diese Illusion nicht kaputt). Ich nehme an es benötigt 2 Elemente \(y_1,y_2\), sodass die Vereinigung von \(O'_{x,y}\) das \(Y\) überdeckt. Die rote Farbe symbolisiert \( O=O_{x,Y} \) und die cyane symbolisiert \( O'=O'_{x,Y} \). Die Menge \(Y\) ist das Oval, dass sowohl \(y_1\), als auch \(y_2\) beinhaltet.
Ist es nun deutlich, warum du bei dem einen den Schnitt brauchst und beim anderen die Vereinigung?
WICHTIG: Ich sehe gerade, dass ich mich in der Zeichung verschrieben habe. Die Menge \(O_{x,y_2}\) kommt zweimal vor. Die Rechte soll natürlich \(O_{x,y_1}\) sein. Ansonsten wären \(O_{x,y_2}\) und \(O'_{x,y_2}\) auch gar nicht disjunkt.

Beachte besonders, dass ich die Situation \(O'(x,y_1)\cap O(x,y_2) \neq \varnothing\) absichtlich gewählt habe. Das verdeutlicht den Bedarf des Schnittes für die Konstruktion von \(O\)
Liebe Grüße
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Vielen lieben Dank, ich entschuldige mich für meine unpräzise Formulierung und hoffe, dass ich in Zukunft besser formuliere.
Die Zeichnung hat mir sehr viel geholfen um zu verstehen, wieso einmal der Schnitt gewählt wird und beim anderen Mal die Vereinigung !

Nun eine letze Frage:
Zu Schluss des Beweises in dem Skript wird gezeigt, dass der Schnitt O‘x,Y mit O x,Y die leere Menge ist.
Somit wird durch die folgendenen Umformungen gezeigt dass dies stimmt.
Hier jedoch ist mir unklar, wie man von dem zweiten Schritt, auf den dritten Schritt kommen kann ?
  ─   katharinawagner 01.05.2021 um 18:30

Du meinst diesen Schritt hier? \[ (\bigcup_{y\in J} O'_{x,y}) \cap (\bigcap_{y\in J} O_{x,y}) = \bigcup_{y\in J} ( O'_{x,y} \cap \bigcap_{y\in J} O_{x,y}) ? \]
Das ist die Anwendung des Distributivgesetzes (DG) für Boolesche Algebren. Also
\[ (A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C) \]
Damit folgt
\[ (\bigcup_{y\in J} O'_{x,y}) \cap (\bigcap_{y\in J} O_{x,y}) = (\bigcup_{y\in J} O'_{x,y}) \cap O_{x,Y} \overset{\text{DG}}= \bigcup_{y\in J}( O'_{x,y} \cap O_{x,Y} ) = \bigcup_{y\in J} ( O'_{x,y} \cap \bigcap_{y\in J} O_{x,y}). \]
  ─   cunni 01.05.2021 um 18:55

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