Das Beispiel \(x_n=\frac1n\) und \(y_n=n^2\), das du für die (a) angibst, funktioniert nicht bei der (a), dafür aber bei der (b), denn \(x_ny_n=n\), was gegen \(\infty\) geht. Fällt dir noch ein Beispiel ein, das für die (a) funktioniert?

Zur uneigentlichen Konvergenz (auch: bestimmte Divergenz): Eine Folge \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) konvergiert uneigentlich gegen \(+\infty\), wenn es für jedes \(M\in\mathbb R\) ein \(N\in\mathbb N\) gibt, sodass für alle \(n\geq N\) gilt, dass \(x_n\geq M\). Das heißt zum einen, dass die Folge unbeschränkt wächst, also dass die Folgenglieder beliebig groß werden. Das sollte bei einer Konvergenz zu \(+\infty\) intuitiv klar sein. Zum anderen darf die Folge nicht wild hin- und herspringen. Zum Beispiel ist die Folge \(n\sin n\) nicht uneigentlich konvergent gegen \(+\infty\), obwohl sie unbeschränkt ist, da sie immer wieder hin- und her-oszilliert und nie stets über einer Schranke bleibt. Auch das kann man sich eigentlich ganz gut vorstellen. Bei der Konvergenz gegen \(-\infty\) geht alles genauso, man hat in der Definition nur \(x_n\leq M\).