Gruppe / Untergruppe (Vererbung?)

Aufrufe: 39     Aktiv: 24.06.2021 um 11:08

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Hallo,

ich hätte eine Frage bezüglich des Untergruppenkriteriums. Allgemein kann man ja mühsam prüfen ob U Untergruppe von G, also U <= G durch Abgeschlossen, Invers, Neutral und Assoziativgesetz.
oder eben über das Untergruppenkriterium
Allgemein stellt sich für mich die Fragem, ob von G direkt etwas vererbt wird, und warum
-)Abgeschlossen: klar es ist möglich eine Teilmenge zu wählen, ohne dass diese Abgeschlossen ist, dies muss sich aus der Wahl der Untergruppe selbst ergeben z.B. Z4U = {0,2} für Z4
-)Assoziativität: Wenn die Gesamtmenge Assoziativ ist (schwächere Voraussetzung), so muss dies auch für eine kleinere Menge (stärkere Voraussetzung gelten) (klar)
-)Neutralität
-)Inversität
Ergibt sich wahrscheinlich wechselseitig, nur die Frage ist, wie sich dies ergibt, kann es nicht beispielsweise sein, dass man die Untergruppe einer Gruppe so wählt, dass die Untergruppe ein anderes Inverses (auch wenn es in einer assoziativen Struktur  höchstens (Gruppe), also ein Inverses geben kann) als die Gruppe besitzt, bzw., weil ich die Diskussion in unserer Gruppe einmal mitbekommen habe mit Vererben / Nicht Vererben, welche Eigenschaften werden von der Obermenge vererbt?

Vielen Dank im Voraus :)
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Eine Untergruppe erbt alle Eigenschaften der Obergruppe, somit ist jede Untergruppe auch eine Gruppe. Auch haben alle Elemente \(a\in H\leq G\) das selbe Inverse \(a^{-1} \in G\), da es sonst ja in \(G\) zwei Inverse hätte, die Verknüpfung bleibt ja die Gleiche und es gilt \(a \in H \Rightarrow a \in G\).
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Dankeschön :)   ─   sven03 24.06.2021 um 11:08

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