Zeigen Sie, dass fur ungerade Zahlen b1, . . . ,bn ∈ Z stets gilt:

Erste Frage Aufrufe: 589     Aktiv: 21.06.2020 um 23:53
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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass fur ungerade Zahlen b1, . . . ,bn ∈ Z stets gilt:

b1*. . .*bn−1 ≡ b1−1+. . .+bn−1 (mod 4)

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Meine Idee ist, über die Restklassen zu beweisen, da man ja b als 4Z+a schreiben kann, komme aber irgendwie auf kein sinnvolles Ergebnis. Falls jemand einen Tipp für den richtigen Ansatz hat, wäre ich sehr dankbar!

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Ich würde gerne helfen, aber mir ist nicht klar, wo hier Indizes vorliegen.   ─   mathe.study 21.06.2020 um 23:36
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Den Beweis führt man wohl am besten per Induktion. Für \(n=1\) ist die Aussage trivial und für \(n=2\) kann man einfach alle vier Kombinationen von möglichen Restklassen von \(b_1\) und \(b_2\) überprüfen. Im Induktionsschritt erhält man dann \(b_1 \cdot b_2 \dots b_n -1 \equiv b_1 -1 + b_2 \dots b_n-1 \equiv b_1 -1 + b_2-1+ \dots + b_n-1 \ \ (mod \ 4) \), wobei beim ersten Kongruenzzeichen die Aussage für \(n=2\) und beim zweiten Kongruenzzeichen die Induktionsannahme verwendet wurden.

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