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Ich bezeichne mal die Riemann-Dichte mit \(f\). Die ZV ist hier einfach eine Transformation, und über die Formel
\[f_X(x)=f(X^{-1}(x))*\left|\frac{d}{dx}X^{-1}(x) \right|,\]
solltest du die gesuchte Dichte einfach ermitteln können.
Man kann natürlich auch die Verteilung bestimmen und dann differenzieren. Die Ergebnisse sollten sich nicht unterscheiden (sonst ist was schief gegangen haha).
\[f_X(x)=f(X^{-1}(x))*\left|\frac{d}{dx}X^{-1}(x) \right|,\]
solltest du die gesuchte Dichte einfach ermitteln können.
Man kann natürlich auch die Verteilung bestimmen und dann differenzieren. Die Ergebnisse sollten sich nicht unterscheiden (sonst ist was schief gegangen haha).
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orbit
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 690
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Ich muss dieses Puzzle einmal ordentlich zusammenfügen, damit ich immer weiß. wo ich bin. Ich verstehe das wie folgt, leider noch nicht ganz.
Einem Wahrscheinlichkeitsraum ( \( \Omega, A, \mathbb{P}) \) wird eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen. Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl im reellen zwischen 0 und 1. \( \mathrm{Frage \ 1} \): Wer ist für diese Abbildung zuständig? \( \mathbb{P} \) ? Das haben wir ja hier gegeben mit mithilfe der Dichte \( g: \omega \mapsto e^{-\omega} \). Dh. hier ist es so, dass die Funktion g uns Zahlen zwischen 0 und 1 liefert. Wenn das richtig ist, hab ich es verstanden. Eigentlich wusste ich das seit der ertsen VL. Aber nun mit all den anderen Sachen zusammen, ist es manchmal doch verwirrend.
idR. interessiert die Verteilung einer ZV mehr, da sie messbar ist (hab ich mal jetzt aus dem Skript). Gesucht ist hier in der Aufgabe die Verteilung von X bzgl \( \mathbb{P}, \ \ f_X(x) \) wie du sie bereits genannt hast. Eine ZV ist eine Funktion, die welche Aufgabe erfüllt? Sie sagt uns nur, wie etwas verteilt ist, also nach welchen Regeln hier gespielt wird? Beim Prinzip des Würfels ist es wie schon oben beschrieben: \( \frac{\#A}{\#\Omega} \). Was mich halt hier verwirrt ist, dass ja auch diese ZV uns Werte zwischen 0 und 1 liefert, da braucht doch keiner das P ? Daher habe ich wohl die Wichtigkeit des W'maßes immer verdrängt. Wie sähe denn das W'maß bei meinem Würfelbeispiel aus?
Es ist ja oft so, dass man schreibt \( X: \Omega =[0,\infty) \rightarrow [0,\infty) : \omega \mapsto e^{-\omega} \). Aber X bildet mithilfe dieser Abbildung zwischen 0 und unendlich ab. Dann ist das ja kein W'maß? So und nun bin ich verwirrt :D ─ labis 14.07.2021 um 00:40
Einem Wahrscheinlichkeitsraum ( \( \Omega, A, \mathbb{P}) \) wird eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen. Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl im reellen zwischen 0 und 1. \( \mathrm{Frage \ 1} \): Wer ist für diese Abbildung zuständig? \( \mathbb{P} \) ? Das haben wir ja hier gegeben mit mithilfe der Dichte \( g: \omega \mapsto e^{-\omega} \). Dh. hier ist es so, dass die Funktion g uns Zahlen zwischen 0 und 1 liefert. Wenn das richtig ist, hab ich es verstanden. Eigentlich wusste ich das seit der ertsen VL. Aber nun mit all den anderen Sachen zusammen, ist es manchmal doch verwirrend.
idR. interessiert die Verteilung einer ZV mehr, da sie messbar ist (hab ich mal jetzt aus dem Skript). Gesucht ist hier in der Aufgabe die Verteilung von X bzgl \( \mathbb{P}, \ \ f_X(x) \) wie du sie bereits genannt hast. Eine ZV ist eine Funktion, die welche Aufgabe erfüllt? Sie sagt uns nur, wie etwas verteilt ist, also nach welchen Regeln hier gespielt wird? Beim Prinzip des Würfels ist es wie schon oben beschrieben: \( \frac{\#A}{\#\Omega} \). Was mich halt hier verwirrt ist, dass ja auch diese ZV uns Werte zwischen 0 und 1 liefert, da braucht doch keiner das P ? Daher habe ich wohl die Wichtigkeit des W'maßes immer verdrängt. Wie sähe denn das W'maß bei meinem Würfelbeispiel aus?
Es ist ja oft so, dass man schreibt \( X: \Omega =[0,\infty) \rightarrow [0,\infty) : \omega \mapsto e^{-\omega} \). Aber X bildet mithilfe dieser Abbildung zwischen 0 und unendlich ab. Dann ist das ja kein W'maß? So und nun bin ich verwirrt :D ─ labis 14.07.2021 um 00:40
Einem W-Raum wird keine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Betrachtet man einen Messraum \((\Omega,\mathcal{A})\) und versieht diesen mit einem W-Maß \(\mathbb{P}\), so nennt man \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) einen W-Raum. Ein W-Maß ist eine Abbildung \(\mathbb{P}:\mathcal{A}\to [0,1]\) mit bestimmten Eigenschaften, die du sicherlich in deinem Skript stehen hast.
Gehen wir mal von deinem Würfelbsp. aus. Sei also \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) und \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) ein W-Raum wobei \(\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\) ein W-Maß ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird, ist demnach \(\mathbb{P}(\{1,3,5\})= \frac{|\{1,3,5\}|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Als ZV bezeichnet man eine messbare Abbildung vom W-Raum in einen Messraum. Die \(\sigma-\)Algebren sind wichtig, wenn es um Messbarkeit geht. Wenn diese klar sind, werden die aber meist nicht mit genannt.
Deine hier gegebene Abbildung \(X\) wird ja nicht durch \(\omega \to e^{-\omega}\) beschrieben (und selbst wenn bildet dieses \(X\) auch nicht zwischen \(0\) und \(\infty\) ab, sondern zwischen \(0\) und \(1\)). Das \(X\) aus der Aufgabe bildet zwar in die positiven Zahlen ab, aber es soll ja auch kein W-Maß sein, sondern eine ZV. Du interessierst dich hier ja für die Verteilung von \(X\), d.h. für \(\mathbb{P}\circ X^{-1}\).
PS: Die obige Formel habe ich etwas lax angewandt. Bin mir daher nicht zu hundert Prozent sicher, ob man das hier so anwenden darf.
Aber mit \(\mathbb{P}(X \leq x)=1-e^{-\alpha x^{\beta}}\) kommt die gleiche Dichte raus. Wenn man auf Nummer Sicher gehen will, ist der zweite Ansatz wohl besser. ─ orbit 15.07.2021 um 14:31
Gehen wir mal von deinem Würfelbsp. aus. Sei also \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) und \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) ein W-Raum wobei \(\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\) ein W-Maß ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird, ist demnach \(\mathbb{P}(\{1,3,5\})= \frac{|\{1,3,5\}|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Als ZV bezeichnet man eine messbare Abbildung vom W-Raum in einen Messraum. Die \(\sigma-\)Algebren sind wichtig, wenn es um Messbarkeit geht. Wenn diese klar sind, werden die aber meist nicht mit genannt.
Deine hier gegebene Abbildung \(X\) wird ja nicht durch \(\omega \to e^{-\omega}\) beschrieben (und selbst wenn bildet dieses \(X\) auch nicht zwischen \(0\) und \(\infty\) ab, sondern zwischen \(0\) und \(1\)). Das \(X\) aus der Aufgabe bildet zwar in die positiven Zahlen ab, aber es soll ja auch kein W-Maß sein, sondern eine ZV. Du interessierst dich hier ja für die Verteilung von \(X\), d.h. für \(\mathbb{P}\circ X^{-1}\).
PS: Die obige Formel habe ich etwas lax angewandt. Bin mir daher nicht zu hundert Prozent sicher, ob man das hier so anwenden darf.
Aber mit \(\mathbb{P}(X \leq x)=1-e^{-\alpha x^{\beta}}\) kommt die gleiche Dichte raus. Wenn man auf Nummer Sicher gehen will, ist der zweite Ansatz wohl besser. ─ orbit 15.07.2021 um 14:31
