Dichte ermitteln

Aufrufe: 109     Aktiv: 15.07.2021 um 14:31

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Moin,

ich hab mal wieder eine Frage. Mich verwirrt die Fragestellung, bzw. warum wird das W'Maß angegeben und die Abbildung der Zufallsgröße. Hier merk ich, dass mit Zusammenhänge fehlen, sonst wäre die Aufgabe nicht so schwer, nehme ich an.

Aufgabe: Auf  \( \Omega = [0,\infty) \) sei das Wahrscheinlichkeitsmaß \( \mathbb{P} \) mit der Riemann-Dichte \( \omega \mapsto e^{-\omega } \). Seien \( \alpha, \beta \in (0,\infty)  \) fest und wir definieren eine Zufallsgröße \( X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( X(\omega)= (\frac{\omega}{\alpha})^{\frac{1}{\beta}} \). Ermitteln Sie eine Riemann-Dichte von X.

Ansatz: Also ich hätte jetzt gezeigt, dass der Term \( X(\omega)= (\frac{\omega}{\alpha})^{\frac{1}{\beta}} \) nur positive Werte (und Null) annehmen kann und einfach das Integral von \( (-\infty, \infty) \) über \( X(\omega)= (\frac{\omega}{\alpha})^{\frac{1}{\beta}} \) = 1 gebildet und berechnet. Richtig? Und warum steht da das W'Maß? Die Frage verwirrt mich.
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gefragt

Punkte: 81

 

Gemäß was ist denn X verteilt?   ─   finn2000 13.07.2021 um 21:46

Weil die Frage ist an sich nicht beantwortbar sonst. Eine Zufallsvariable ist ja an sich nur eine messbare Abbildung, welche zunächst ja nicht mit dem Maß gemäß dem Sie verteilt ist zusammenhängt. Ich weiß aber nicht ob ihr zum Beispiel immer den Push-Forward nehmt.   ─   finn2000 13.07.2021 um 21:49

Tut mir leid, da kann ich dir keine Antwort geben. Das ist eine Aufgabe aus einer Altklausur, exakt abgeschrieben. Habe kontrolliert, ob ich einen Tippfehler o.ä. hab, leider nicht.   ─   labis 13.07.2021 um 22:12

Dann wahrscheinlich Push Forward. Komisch das hier so ungenau die Frage gestellt wurde   ─   finn2000 13.07.2021 um 22:36

Ich schaus mir gerade gleich mal an aber dann müsste es glaube e nur noch Grundrechnungen sein   ─   finn2000 13.07.2021 um 22:41

top danke. ja denke mir auch, dass es nur grundrechnungen sind, war aber mit der frage verwirrt. aber vllt kannst du diese verwirrung ja für mich auflösen.   ─   labis 13.07.2021 um 22:48

"Eine Zufallsvariable ist ja an sich nur eine messbare Abbildung, welche zunächst ja nicht mit dem Maß gemäß dem Sie verteilt ist zusammenhängt"

Das müsstest du aber mal erläutern. Nach Definition ist die Verteilung ja gerade \(\mathbb{P}\circ X^{-1}\).
  ─   orbit 13.07.2021 um 23:14

Genau wenn wir als Verteilung den Push Forward setzen. Aber das Maß auf R muss ja nicht das Maß der Verteilung sein   ─   finn2000 13.07.2021 um 23:22

Die Verteilung einer ZV ist per Definition via Bildmaß gegeben. Hier ist das Maß \(\mathbb{P}\) auf einem W-Raum gegeben und eine ZV. Damit sollte alles nötige vorhanden sein.

" Aber das Maß auf R muss ja nicht das Maß der Verteilung sein"
Was meinst du damit?
  ─   orbit 13.07.2021 um 23:29

Also nehmen wir ein einfaches Beispiel, für mich. Mal schauen ob ich es verstanden habe. Wir haben einen Würfel imt 6 Seiten. Das Maß \( \mathbb{P} \) ist \( \frac{\#A}{\#\Omega } \), einfach deer Raum in dem mein Ergebnis dargestellt wird. Der lautet hier einfach von \( \omega \) nach \( e^{-\omega} \). Das ist halt der Raum in dem das Maß mir ein Ergebnis liefert, richtig? Und X hat halt die Verteilung die da steht. Diese Verteilung ist doch dann die Dichtefunktion, oder bringe ich wieder etwas durcheinander?   ─   labis 13.07.2021 um 23:37

Achso habe die Frage beim erstenmal als ich es gelesen habe falsch gelesen ja genau ok ja dann ist meine Aussage so sinnfrei   ─   finn2000 13.07.2021 um 23:37

Ich dachte wir interessieren uns für das Maß auf dem Bildraum welches ja erstmal nichts mit der Verteilung der Zufalssvariable zu tun hat die dahin abbildet   ─   finn2000 13.07.2021 um 23:38
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4 Antworten
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Ich bezeichne mal die Riemann-Dichte mit \(f\). Die ZV ist hier einfach eine Transformation, und über die Formel 
\[f_X(x)=f(X^{-1}(x))*\left|\frac{d}{dx}X^{-1}(x) \right|,\]
solltest du die gesuchte Dichte einfach ermitteln können. 

Man kann natürlich auch die Verteilung bestimmen und dann differenzieren. Die Ergebnisse sollten sich nicht unterscheiden (sonst ist was schief gegangen haha).
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Student, Punkte: 365

 

Ich muss dieses Puzzle einmal ordentlich zusammenfügen, damit ich immer weiß. wo ich bin. Ich verstehe das wie folgt, leider noch nicht ganz.

Einem Wahrscheinlichkeitsraum ( \( \Omega, A, \mathbb{P}) \) wird eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen. Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl im reellen zwischen 0 und 1. \( \mathrm{Frage \ 1} \): Wer ist für diese Abbildung zuständig? \( \mathbb{P} \) ? Das haben wir ja hier gegeben mit mithilfe der Dichte \( g: \omega \mapsto e^{-\omega} \). Dh. hier ist es so, dass die Funktion g uns Zahlen zwischen 0 und 1 liefert. Wenn das richtig ist, hab ich es verstanden. Eigentlich wusste ich das seit der ertsen VL. Aber nun mit all den anderen Sachen zusammen, ist es manchmal doch verwirrend.

idR. interessiert die Verteilung einer ZV mehr, da sie messbar ist (hab ich mal jetzt aus dem Skript). Gesucht ist hier in der Aufgabe die Verteilung von X bzgl \( \mathbb{P}, \ \ f_X(x) \) wie du sie bereits genannt hast. Eine ZV ist eine Funktion, die welche Aufgabe erfüllt? Sie sagt uns nur, wie etwas verteilt ist, also nach welchen Regeln hier gespielt wird? Beim Prinzip des Würfels ist es wie schon oben beschrieben: \( \frac{\#A}{\#\Omega} \). Was mich halt hier verwirrt ist, dass ja auch diese ZV uns Werte zwischen 0 und 1 liefert, da braucht doch keiner das P ? Daher habe ich wohl die Wichtigkeit des W'maßes immer verdrängt. Wie sähe denn das W'maß bei meinem Würfelbeispiel aus?

Es ist ja oft so, dass man schreibt \( X: \Omega =[0,\infty) \rightarrow [0,\infty) : \omega \mapsto e^{-\omega} \). Aber X bildet mithilfe dieser Abbildung zwischen 0 und unendlich ab. Dann ist das ja kein W'maß? So und nun bin ich verwirrt :D
  ─   labis 14.07.2021 um 00:40

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Einem W-Raum wird keine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Betrachtet man einen Messraum \((\Omega,\mathcal{A})\) und versieht diesen mit einem W-Maß \(\mathbb{P}\), so nennt man \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) einen W-Raum. Ein W-Maß ist eine Abbildung \(\mathbb{P}:\mathcal{A}\to [0,1]\) mit bestimmten Eigenschaften, die du sicherlich in deinem Skript stehen hast.

Gehen wir mal von deinem Würfelbsp. aus. Sei also \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) und \((\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})\) ein W-Raum wobei \(\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\) ein W-Maß ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird, ist demnach \(\mathbb{P}(\{1,3,5\})= \frac{|\{1,3,5\}|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

Als ZV bezeichnet man eine messbare Abbildung vom W-Raum in einen Messraum. Die \(\sigma-\)Algebren sind wichtig, wenn es um Messbarkeit geht. Wenn diese klar sind, werden die aber meist nicht mit genannt.

Deine hier gegebene Abbildung \(X\) wird ja nicht durch \(\omega \to e^{-\omega}\) beschrieben (und selbst wenn bildet dieses \(X\) auch nicht zwischen \(0\) und \(\infty\) ab, sondern zwischen \(0\) und \(1\)). Das \(X\) aus der Aufgabe bildet zwar in die positiven Zahlen ab, aber es soll ja auch kein W-Maß sein, sondern eine ZV. Du interessierst dich hier ja für die Verteilung von \(X\), d.h. für \(\mathbb{P}\circ X^{-1}\).

PS: Die obige Formel habe ich etwas lax angewandt. Bin mir daher nicht zu hundert Prozent sicher, ob man das hier so anwenden darf.
Aber mit \(\mathbb{P}(X \leq x)=1-e^{-\alpha x^{\beta}}\) kommt die gleiche Dichte raus. Wenn man auf Nummer Sicher gehen will, ist der zweite Ansatz wohl besser.
  ─   orbit 15.07.2021 um 14:31

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Also ich würde glaube es so machen: Wir wissen das X eine messbare Abbildung von Omega nach R ist und wofür wir uns interessieren ist dann glaube ich nur noch P(X^-1) und das bekommen wir dann über die oben angegebene Abbildung und Dichte
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Das dumme ist ich habe gerade nix zum schreiben aber ich Versuchs mal weiter am Handy :D. Also die Verteilung von X haben wir festgehalten soll P_X = P(X-1(A)) sein für alle A aus der Borell sigma algebra. So bekommen wir eine VFF und dann leiten wir diese ab um an die Dichte zu kommen.
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Also das X-1 soll die umkehrabblidlung bedeuten   ─   finn2000 13.07.2021 um 22:55

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Ich glaube  sogar es sollte passen wenn du die obige Abbildung X investierst und dann das Omega in die Dichte einsetzt. Ist glaube  ich am einfachsten und schnellsten. Wenn du einen Fehler bei der Rechnung siehst gerne melden.
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Student, Punkte: 254

 

also ich soll \( X(\omega) = (\frac{\omega}{\alpha})^\frac{1}{\beta} = q \) invertieren. Also wie zum henker werd ich denn diesesn ekligen Exponenten los? :D da zieht man ja nicht einfach die Wurzel von \( b^{-1} \). Aber wenn ja, würde es so aussehen: \( \omega = \alpha \cdot \sqrt[b^{-1}]{q}\). sieht nicht schön aus, aber wenns klappt, arrangier ich mich damit. Und das soll jetzt in das Omega von der Exponentialfunktion? Wer denkt sich denn sowas aus. Also inhaltlich versteh ich das null.   ─   labis 13.07.2021 um 23:29

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