Nilzyklische Zerlegung

Aufrufe: 98     Aktiv: 12.09.2021 um 21:36

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Ich bin etwas überfragt. Es geht um den nilpotenten Endomorphismus T, wobei q der Nilpotenzindex ist.



Für den Endomorphismus i.A. gibt es z.B. folgende Eigenschaften:

Wie kann man die nilzyklische Zerlegung mit den Eigenschaften von Kern und Bild erläutern und welcher Vektor könnte hierbei null sein. Dass der Span bzw. die einzelne Menge linear unabhängig ist, ist mir klar. Mir geht es nur um die Konstellation von Bild und Kern bezogen auf die Zerlegung.

Ich bedanke mich schonmal im Voraus für jegliche Hilfe.
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Ich versuche dir das jetzt noch einmal anhand eines Beispiels zu verdeutlichen, was passiert, wenn man das Bild oder den Kern bildet.
Das ganze soll kein Beweis sein, aber ich glaube das könnte dir helfen einen Beweis zu verstehen und anzufertigen.
Sagen wir es gibt 3 Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) mit den Nilpotenzen \(5,2,4\). Dann stehen in der Basis B folgende Vektoren:
\begin{array}{ccccc} v_{1} & T\left(v_{1}\right) & T^{2}\left(v_{1}\right) & T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ v_{2} & T\left(v_{2}\right)\\ v_{3} & T\left(v_{3}\right) & T^{2}\left(v_{3}\right) & T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}

Wir wollen wissen, was passiert, wenn wir das Bild von \(T\) Berechnen. Wenden wir dazu die Funktion \(T\) auf alle Basisvektoren an und erhalten:
\begin{array}{ccccc} T\left(v_{1}\right) & T^{2}\left(v_{1}\right) & T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right) & T^{5}\left(v_{1}\right)=0\\ T\left(v_{2}\right) & T^{2}\left(v_{2}\right)=0\\ T\left(v_{3}\right) & T^{2}\left(v_{3}\right) & T^{3}\left(v_{3}\right) & T^{4}\left(v_{3}\right)=0 \end{array}
Die Nullvektoren können wir streichen, denn uns reicht eine Basis von \(\text{img}(T) \). Verglichen mit der Ausgangssituation wurden in jeder Zeile die Vektoren ganz links gestrichen. Wenn wir weiter machen und beispielsweise eine Basis von \(\text{img}(T^3) \) berechnen wollen, dann streichen wir in jeder Zeile die 3 am weitesten links stehenden Vektoren.
\[\text{img}\left(T^{3}\right)=\text{span}\left\{ \begin{array}{cc} T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}\right\}\]

Das Bild "reibt" also unter steigenden Potenzen die Basis von links nach rechts auf. Kommen wir nun zum Kern:
Kennen wir Vektoren für die gilt \(T(v)=0\)? Auch hier wollen wir uns erstmal beschränken auf die Vektoren in der Basis B. Welche dieser Vektoren werden auf die 0 abgebildet? Es sind die ganz rechts stehenden. Also \(T(T^4(v_1)) = T(T(v_2)) = T(T^3(v_3)) = 0\). Die anderen Vektoren in B werden nicht auf die 0 abgebildet. Eine Basis für \(\text{kern}(T^1)\) erhälst du, indem du nur die am weitesten rechts stehenden Vektoren nimmst. Also

\[\text{kern}\left(T\right)=\text{span}\left\{ \begin{array}{cccc} & & & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ T\left(v_{2}\right)\\ & & T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}\right\}\]
Willst du für eine höhere Potenz eine Basis des Kerns, beispielsweise zu \(T^3\), dann nimmst du in jeder Zeile die 3 am weitesten rechts stehenden Vektoren.
\[\text{kern}\left(T^{3}\right)=\text{span}\left\{ \begin{array}{ccccc} & & T^{2}\left(v_{1}\right) & T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ v_{2} & T\left(v_{2}\right)\\ & T\left(v_{3}\right) & T^{2}\left(v_{3}\right) & T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}\right\}\]

Wie du siehst, wird der Kern mit steigender Potenz immer größer und das Bild immer kleiner.
In einem formalen Beweis musst du darauf achten, dass im Vektorraum noch mehr Vektoren existieren als nur die Basisvektoren. Auf diese gehst du ein, indem du sie in Basisvektoren zerlegst.

Ich hoffe das konnte weiterhelfen um meine oben stehende Beweisidee besser umzusetzten.

Grüße
cunni
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Danke vielmals! Genau das Beispiel habe ich im Internet mit genau so einer Erklärung vergeblich gesucht.   ─   emilie 12.09.2021 um 19:29

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"wobei \(q_j\) den Index von \(v_j\) bezeichnet" Was bedeutet das? Ist hiermit einfach \(q_j=j\) gemeint? Oder ist damit gemeint, dass \(T^{q_j-1}(v_j)\neq 0 \wedge T^{q_j}(v_j)=0\)? Ich gehe mal vom letzteren Fall aus. Sowohl das Bild als auch der Kern können konkret aufgestellt werden. Um das Bild aufzustellen musst du einen Beispielvektor \(v\in V\) nehmen und ihn als Linearkombination schreiben bezüglich der Basis \(B\). Also \[ v = \sum_{j=1}^r \sum_{k=0}^{q_j-1} \lambda_{v,j,k} \cdot T^{k}(v_j) \] Schau dir diese Zerlegung genau an und du stellst fest, dass genau die Vektoren im Bild von \(T\) liegen, bei denen \(\lambda_{v,j,0} =0\) für alle \(j\). Damit haben wir als Bild von \(T\): \[ \text{img}(T) = \text{span} \underbrace{\{ T^{k}(v_j) \mid j=1,\ldots,r,\; k=1,\ldots,q_j-1\}}_{\text{Basis B ohne \(v_1,\ldots,v_r\)}} \] Für die Aufgabe 4 kannst du diese Erkenntnis auch direkt erweitern zu \[ \text{img}(T^n) = \text{span} \{ T^{k}(v_j) \mid j=1,\ldots,r,\; k=n,\ldots,q_j-1\} \] Analog kann man für den Kern vorgehen. Welcher Vektor \(v\in V\) wird auf den Nullvektor abgebildet? \(T(v)=0\)\[\quad \] Schreibe wieder \( v \) als Linearkombination zur Basis \(B\).

\[0=T(v)
    =T\left(\sum_{j=1}^{r}\sum_{k=0}^{q_{j}-1}\lambda_{v,j,k}\cdot T^{k}(v_{j})\right)
    =\sum_{j=1}^{r}\sum_{k=0}^{q_{j}-1}\lambda_{v,j,k}T\left(T^{k}(v_{j})\right)
    =\sum_{j=1}^{r}\sum_{k=1}^{q_{j}}\lambda_{v,j,k-1}T^{k}(v_{j})
    \overset{T^{q_{j}}(v_{j})=0}{=}\sum_{j=1}^{r}\sum_{k=1}^{q_{j}-1}\lambda_{v,j,k-1}\underbrace{T^{k}(v_{j})}_{\in B} \]

Alle \(T^{k}(v_j) \) sind linearunabhängig (denn es sind Vektoren der Basis B). Damit gilt \[T(v)=0\Leftrightarrow (\forall k =1,\ldots,q_j-1: \lambda_{v,i,k-1}= 0)\]
Die Werte für \(\lambda_{v,i,k}\) sind also alle 0 für alle \(k\neq q_j-1\).
Somit können wir den Kern aufstellen: \[ \text{kern}(T) = span\{ T^{q_j-1}(v_j) \mid j=1,\ldots,r \} \] Für die Aufgabe 3 erweitere diese Erkenntnis zu \[ \text{kern}(T^n) = span\{ T^{q_j-k}(v_j) \mid j=1,\ldots,r, \;k=1,\ldots,n\} \] Liebe Grüße
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Vielen Dank für diesen ausführlichen Kommentar. Mich irritieren nur die ganzen Indizes. Schaut man sich nur einen Span der potenzierten Bildelemente an, wie kann man das ganz trivial daran zeigen? Und warum kann nur T^(q-1) v = 0 werden?   ─   emilie 12.09.2021 um 14:00

"Und warum kann nur \(T^{q-1} v = 0\) werden? "
Wo steht das? Meinst du irgendwas beim Kern?
Beachte, dass \(T^{k} v_j \neq 0\) für alle \(k=0,\ldots,q_j-1\) und \(T^{k} v_j = 0\) für alle \(k\geq q_j\), denn \(q_j\) ist der Nilpotenzindex zu \(v_j\).
Außerdem weißt du, dass \(T^{k} v_j \neq 0\) für alle \(k=0,\ldots,q_j-1\), denn \(T^{k} v_j \) ist ein Basisvektor von \(B\) und Basisvektoren sind niemals 0.
Die Aussage "\(T^{q-1} v = 0\)" stimmt jedenfalls nicht für jedes \(v\in V\).

"Schaut man sich nur einen Span der potenzierten Bildelemente an, wie kann man das ganz trivial daran zeigen?"
Was willst du "daran" zeigen? Aufgabe 4?
Durch einfache Logik und Mengenlehre. Wenn du eine Menge mit einer Aussage \(A\) einschränkst \( M_A=\{ x\in M \mid A(x) \} \) und dies vergleichst mit \(M_B=\{x\in M \mid B(x)\}\), dann gilt \(M_A\subseteq M_B \Leftrightarrow (\forall x:A(x)\Rightarrow B(x))\)
Siehe dir die Mengen zu \(\text{img}(T^n)\) mal genau an. Das einzige, wodurch sich diese unterscheiden, ist, dass für steigende \(n\) weniger Optionen für \(k=n,\ldots ,q_j-1\) übrig bleiben. Wenn es weniger Werte für \(k\) gibt, dann muss die resultierende Menge auch kleiner werden.

Wenn du die Aufgabe hinbekommen hast, dann schicke mir doch einfach mal das Ergebnis.
  ─   cunni 12.09.2021 um 14:45

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Ich habe nochmal über die Aufgaben nachgedacht. Kannst du mir bitte einmal aufschreiben, wie das + bei Aufgabe 1 definiert ist? Und bitte überprüfe nochmal, ob du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast.
Zuerst habe ich gedacht, dass das + einfach die direkte Summe sei und du nur den Kreis um das + vergessen hast. Aber das kann nicht sein. Dann wäre die Aussage falsch.
  ─   cunni 12.09.2021 um 14:56

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