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Ich versuche dir das jetzt noch einmal anhand eines Beispiels zu verdeutlichen, was passiert, wenn man das Bild oder den Kern bildet.
Das ganze soll kein Beweis sein, aber ich glaube das könnte dir helfen einen Beweis zu verstehen und anzufertigen.
Sagen wir es gibt 3 Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) mit den Nilpotenzen \(5,2,4\). Dann stehen in der Basis B folgende Vektoren:
Das ganze soll kein Beweis sein, aber ich glaube das könnte dir helfen einen Beweis zu verstehen und anzufertigen.
Sagen wir es gibt 3 Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) mit den Nilpotenzen \(5,2,4\). Dann stehen in der Basis B folgende Vektoren:
\begin{array}{ccccc} v_{1} & T\left(v_{1}\right) & T^{2}\left(v_{1}\right) & T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ v_{2} & T\left(v_{2}\right)\\ v_{3} & T\left(v_{3}\right) & T^{2}\left(v_{3}\right) & T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}
Wir wollen wissen, was passiert, wenn wir das Bild von \(T\) Berechnen. Wenden wir dazu die Funktion \(T\) auf alle Basisvektoren an und erhalten:
Wir wollen wissen, was passiert, wenn wir das Bild von \(T\) Berechnen. Wenden wir dazu die Funktion \(T\) auf alle Basisvektoren an und erhalten:
\begin{array}{ccccc} T\left(v_{1}\right) & T^{2}\left(v_{1}\right) & T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right) & T^{5}\left(v_{1}\right)=0\\ T\left(v_{2}\right) & T^{2}\left(v_{2}\right)=0\\ T\left(v_{3}\right) & T^{2}\left(v_{3}\right) & T^{3}\left(v_{3}\right) & T^{4}\left(v_{3}\right)=0 \end{array}
Die Nullvektoren können wir streichen, denn uns reicht eine Basis von \(\text{img}(T) \). Verglichen mit der Ausgangssituation wurden in jeder Zeile die Vektoren ganz links gestrichen. Wenn wir weiter machen und beispielsweise eine Basis von \(\text{img}(T^3) \) berechnen wollen, dann streichen wir in jeder Zeile die 3 am weitesten links stehenden Vektoren.
Die Nullvektoren können wir streichen, denn uns reicht eine Basis von \(\text{img}(T) \). Verglichen mit der Ausgangssituation wurden in jeder Zeile die Vektoren ganz links gestrichen. Wenn wir weiter machen und beispielsweise eine Basis von \(\text{img}(T^3) \) berechnen wollen, dann streichen wir in jeder Zeile die 3 am weitesten links stehenden Vektoren.
\[\text{img}\left(T^{3}\right)=\text{span}\left\{ \begin{array}{cc} T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}\right\}\]
Das Bild "reibt" also unter steigenden Potenzen die Basis von links nach rechts auf. Kommen wir nun zum Kern:
Das Bild "reibt" also unter steigenden Potenzen die Basis von links nach rechts auf. Kommen wir nun zum Kern:
Kennen wir Vektoren für die gilt \(T(v)=0\)? Auch hier wollen wir uns erstmal beschränken auf die Vektoren in der Basis B. Welche dieser Vektoren werden auf die 0 abgebildet? Es sind die ganz rechts stehenden. Also \(T(T^4(v_1)) = T(T(v_2)) = T(T^3(v_3)) = 0\). Die anderen Vektoren in B werden nicht auf die 0 abgebildet. Eine Basis für \(\text{kern}(T^1)\) erhälst du, indem du nur die am weitesten rechts stehenden Vektoren nimmst. Also
\[\text{kern}\left(T\right)=\text{span}\left\{ \begin{array}{cccc} & & & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ T\left(v_{2}\right)\\ & & T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}\right\}\]
Willst du für eine höhere Potenz eine Basis des Kerns, beispielsweise zu \(T^3\), dann nimmst du in jeder Zeile die 3 am weitesten rechts stehenden Vektoren.
\[\text{kern}\left(T^{3}\right)=\text{span}\left\{ \begin{array}{ccccc} & & T^{2}\left(v_{1}\right) & T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ v_{2} & T\left(v_{2}\right)\\ & T\left(v_{3}\right) & T^{2}\left(v_{3}\right) & T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}\right\}\]
Wie du siehst, wird der Kern mit steigender Potenz immer größer und das Bild immer kleiner.
In einem formalen Beweis musst du darauf achten, dass im Vektorraum noch mehr Vektoren existieren als nur die Basisvektoren. Auf diese gehst du ein, indem du sie in Basisvektoren zerlegst.
Ich hoffe das konnte weiterhelfen um meine oben stehende Beweisidee besser umzusetzten.
Grüße
cunni
Willst du für eine höhere Potenz eine Basis des Kerns, beispielsweise zu \(T^3\), dann nimmst du in jeder Zeile die 3 am weitesten rechts stehenden Vektoren.
\[\text{kern}\left(T^{3}\right)=\text{span}\left\{ \begin{array}{ccccc} & & T^{2}\left(v_{1}\right) & T^{3}\left(v_{1}\right) & T^{4}\left(v_{1}\right)\\ v_{2} & T\left(v_{2}\right)\\ & T\left(v_{3}\right) & T^{2}\left(v_{3}\right) & T^{3}\left(v_{3}\right) \end{array}\right\}\]
Wie du siehst, wird der Kern mit steigender Potenz immer größer und das Bild immer kleiner.
In einem formalen Beweis musst du darauf achten, dass im Vektorraum noch mehr Vektoren existieren als nur die Basisvektoren. Auf diese gehst du ein, indem du sie in Basisvektoren zerlegst.
Ich hoffe das konnte weiterhelfen um meine oben stehende Beweisidee besser umzusetzten.
Grüße
cunni
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cunni
Punkte: 705
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Danke vielmals! Genau das Beispiel habe ich im Internet mit genau so einer Erklärung vergeblich gesucht.
─
emilie
12.09.2021 um 19:29