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Das Tupel \( A= (e_1,e_2,e_3 ) \) von oben aus dem Wikipedia- Artikel bildet eine Basis von \( \mathbb R^3\). Die lineare Abbildung ist in dem Wikipedia-Artikel gegeben als \[ f\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-3y \\x-2y+z \end{pmatrix} .\]
Das ist eine lineare Abbildung von \( \mathbb R^3 \) nach \( \mathbb R^2\), dh. es gilt \[ f(\lambda v) =\lambda f(v) \quad \text{und} \quad f(v+w)=f(v)+f(w) \quad \text{ für alle } \lambda \in \mathbb R\text{ und } v,w\in \mathbb R^3 .\]
Die Tatsache, dass \(A\) eine Basis ist von \(\mathbb R^3\) , heißt, dass sich jedes Element \(v\in \mathbb R^3\) eindeutig als Linearkombination \[ v= \lambda _1 e_1 +\lambda _2 e_2 +\lambda _3 e_3 \] darstellen lässt. Nutzt man nun die Linearität von \(f\) aus, so erhält man:
\[ f(v) = \lambda _1 f(e_1 ) + \lambda _2 f(e_2 ) +\lambda _3 f(e_3 ) .\]
Somit ist die Abbildung \(f \) eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren \( f(e_1 ) , f(e_2 ), f(e_3 )\). Diese Eigenschaft kann man sich nun zu Nutze machen. Schreibt man nämlich die Bilder der Basisvektoren in eine Matrix \[ M = \begin{pmatrix} 2& -3 & 0 \\1& -2&1\end{pmatrix} ,\] dann ist die lineare Abbildung bezüglich dieser Basen genau durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor gegeben, denn \[ f(v)= \lambda _1 f(e_1 ) + \lambda _2 f(e_2 ) +\lambda _3 f(e_3 ) = M \cdot \begin{pmatrix} \lambda _1 \\ \lambda _2 \\ \lambda _3 \end{pmatrix} .\]
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Und der Begriff eindeutig heißt: Wenn zwei lineare Abbildungen \(f,g\) auf der Basis \(A \) übereinstimmen, also
\[ f(e_i)=g(e_i)\] für \( i=1,2,3\) gilt, dann müssen \(f\) und \(g\) die gleichen Abbildungen seien. Denn es gilt ja
\[f(v) = \lambda _1 f(e_1 ) + \lambda _2 f(e_2 ) +\lambda _3 f(e_3 ) = \lambda _1 g(e_1 ) + \lambda _2 g(e_2 ) +\lambda _3 g(e_3 ) = g(v)\] für alle \(v\in \mathbb R^3\). ─ anonym42 05.02.2021 um 00:57
Sollte das so halbwegs stimmen - vielen vielen Dank - nur eine kleine Frage noch, wie wird das Bild, also die Linearkombination gewählt (willkürlich?) - Verstehe das mit dem eindeutigen nicht so ganz, also dass jede Basis ein einheitliches Bild hat (die Darstellung ist durch die lineare Unabhängigkeit wohl definiert und eindeutig, aber das Bild kann ja willkürlich gewählt werden, oder?) - also ich habe nicht zu jeder Basis ein eindeutiges Bild, oder ist das eh so gemeint, dass die Darstellung durch die lineare Unabhängigkeit eindeutig ist - also wenn ich (1,0) (0,1) kann ich das Bild (100, 1) nur auf eine Art darstellen? ─ infomarvin 05.02.2021 um 00:43