Abbildungsmatrix - Lineare Algebra

Aufrufe: 64     Aktiv: 05.02.2021 um 00:57

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Mir erschließt sich leider der Sinn des Fortsetzungssatz (der soweit ich das verstanden habe besagt, dass ein Urbild der kanonischen Basis einem eindeutigen Bild zugewiesen wird z.B. Basis im R2 kanonisch=> f(b) = c , was wäre in diesem Zusammenhang c (der Wert den ich wähle?) bzw. steht ja dabei f(x) := x1* f(b1) + x2 * f(b2) + .... + xn * f(bn)
Der gefundene Wikipediartikel ist leider auch nicht sehr hilfreich - besonders die Passage: es gilt (und der kanonische Basisvektor ist gleich = ? Warum?)

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix (zugegriffen am 4.2.2021)

Verstehe leider den Sinn nicht so ganz - und finde dazu auch leider nichts geeignetes, (Basen usw. verstehe ich) - aber zu was das dienen soll und warum die Abbildung der Basis gleich einem bestimmten Bild gesetzt wird (2 1) - ist das willkürlich gewählt?
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Auszubildender, Punkte: 148

 

in dem wiki-artikel ist die lineare abbildung \(f\) doch gegeben. setz einfach die standard basis vektoren ein, dann kriegst du gerade die bildpunkte.   ─   anonym 05.02.2021 um 00:23

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Das Tupel \( A= (e_1,e_2,e_3 ) \) von oben aus dem Wikipedia- Artikel bildet eine Basis von \( \mathbb R^3\). Die lineare Abbildung ist in dem Wikipedia-Artikel gegeben als \[ f\begin{pmatrix} x\\ y\\ z  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-3y \\x-2y+z  \end{pmatrix} .\]

Das ist eine lineare Abbildung von \( \mathbb R^3 \) nach \( \mathbb R^2\), dh. es gilt \[ f(\lambda v) =\lambda f(v) \quad \text{und} \quad f(v+w)=f(v)+f(w) \quad \text{ für alle } \lambda \in \mathbb R\text{ und } v,w\in \mathbb R^3 .\]

Die Tatsache, dass \(A\) eine Basis ist von \(\mathbb R^3\) , heißt, dass sich jedes Element \(v\in \mathbb R^3\) eindeutig als Linearkombination \[ v= \lambda _1 e_1 +\lambda _2 e_2 +\lambda _3 e_3 \] darstellen lässt. Nutzt man nun die Linearität von \(f\) aus, so erhält man:
\[ f(v) = \lambda _1 f(e_1 ) + \lambda _2 f(e_2 ) +\lambda _3 f(e_3 ) .\]
Somit ist die Abbildung \(f \) eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren \( f(e_1 ) , f(e_2 ), f(e_3 )\). Diese Eigenschaft kann man sich nun zu Nutze machen. Schreibt man nämlich die Bilder der Basisvektoren in eine Matrix \[ M = \begin{pmatrix} 2& -3 & 0 \\1& -2&1\end{pmatrix} ,\] dann ist die lineare Abbildung bezüglich dieser Basen genau durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor gegeben, denn \[ f(v)= \lambda _1 f(e_1 ) + \lambda _2 f(e_2 ) +\lambda _3 f(e_3 ) = M \cdot \begin{pmatrix} \lambda _1 \\ \lambda _2 \\ \lambda _3  \end{pmatrix} .\]

Ich hoffe das hilft dir weiter.
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Student, Punkte: 700
 

Danke 🙂 Also grundsätzlich hat man die Basis aus der R3 und möchte diese ins R2 abbilden, d.h man definiert eine 2 x dimension Matrix als Bild der Linearkombinationen und eine Koordinatisierungs-Spaltenvektor der Dimension dimension x 1, um eine 2x 1 Matrix schlussendlich zu errechnen, die sodann im R2 liegt.
Sollte das so halbwegs stimmen - vielen vielen Dank - nur eine kleine Frage noch, wie wird das Bild, also die Linearkombination gewählt (willkürlich?) - Verstehe das mit dem eindeutigen nicht so ganz, also dass jede Basis ein einheitliches Bild hat (die Darstellung ist durch die lineare Unabhängigkeit wohl definiert und eindeutig, aber das Bild kann ja willkürlich gewählt werden, oder?) - also ich habe nicht zu jeder Basis ein eindeutiges Bild, oder ist das eh so gemeint, dass die Darstellung durch die lineare Unabhängigkeit eindeutig ist - also wenn ich (1,0) (0,1) kann ich das Bild (100, 1) nur auf eine Art darstellen?
  ─   infomarvin 05.02.2021 um 00:43

Genau die Bilder der Basisvektoren können willkürlich gewählt werden. In diesem Beispiel ist die Abbildung auf der Wikipediaseite aber schon gegeben, dh. man setzt die Basisvektoren einfach nur ein.
Und der Begriff eindeutig heißt: Wenn zwei lineare Abbildungen \(f,g\) auf der Basis \(A \) übereinstimmen, also
\[ f(e_i)=g(e_i)\] für \( i=1,2,3\) gilt, dann müssen \(f\) und \(g\) die gleichen Abbildungen seien. Denn es gilt ja
\[f(v) = \lambda _1 f(e_1 ) + \lambda _2 f(e_2 ) +\lambda _3 f(e_3 ) = \lambda _1 g(e_1 ) + \lambda _2 g(e_2 ) +\lambda _3 g(e_3 ) = g(v)\] für alle \(v\in \mathbb R^3\).
  ─   anonym42 05.02.2021 um 00:57

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