Vierte Wurzel aus i ziehen.

Erste Frage Aufrufe: 389     Aktiv: 20.03.2023 um 13:53

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Hey, habe eine Aufgabe bei der ich die Lösungen von z^4 = 1,5^4 mal i  bestimmen muss. Erst mal ganz klar, vierte Wurzel ziehen, dann komme ich auf z=1,5 mal vierte Wurzel von i. Wie gehe ich dann fort. Beziehungsweise wie ziehe ich allgemein die n-te Wurzel aus i ?
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Moin,
Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht man am einfachsten, indem man die komplexe Zahl in Polarkoordinaten umwandelt. Es gilt $$i=e^{i(\frac{pi}{2}+2k\pi)}$$Jetzt ist das ziehen der vierten Wurzel bekanntermaßen äquivalent zum potenzieren mit $\frac{1}{4}$. Man erhält also $$\sqrt[4]{i}=\exp{(i(\frac{\pi}{2}+2k\pi))}^{\frac{1}{4}}=\exp{(i(\frac{\pi}{8}+\frac{k}{2}\pi))}$$Jetzt nimmt man alle $k\in\mathbb{N}$, s.d. der Imaginärteil des Exponent zwischen $0$ und $2\pi$ liegt, also $k=0,1,2,3$ Damit erhalten wir alle 4 vierten Wurzeln von $i$
LG
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Verwende die Exponentialform. Dazu sollte auch irgendwas in deinen Unterlagen stehen.
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