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ich benötige Hilfe für folgende Gleichung. Mir fehlt noch das allgemeine Verständnis bei dem Induktionsschritt. Ich würde mich sehr über einen vollständigen Induktionsbeweis freuen.
Sorry, hatte wohl einen Dreher in der Funktion. Die Funktion ist aktualisiert.
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akiv
04.02.2021 um 00:33
Jetzt macht die Gleichung für kein \(n\) mehr Sinn! Das sieht nach der Ableitungsregel aus. Poste sonst die Aufgabe doch mal im originalen Wortlaut oder als Bild.
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maqu
04.02.2021 um 00:40
Habe die Funktion im Original nochmal gepostet.
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akiv
04.02.2021 um 00:53
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Wenn es nur um den Induktionsschritt geht:
Zerlege \(x^{n+1}=x^n\cdot x\) und wende beim Ableiten die Produktregel an mit \(u=x^n\) und \(v=x\).
Da war schon wieder jemand schneller als ich auf dem Handy 🤪
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maqu
04.02.2021 um 01:05
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Cauchy wurde bereits informiert.
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Jetzt macht es mehr Sinn. Du verwendest die Produktregel beim Ableiten um die Induktionsvoraussetzung einzusetzen: \(\left(x^{n+1}\right)' =\left(x^n\cdot x\right)'=\left(x^n\right)' \cdot x + x^n \cdot \left(x\right)' \overset{IV}{=} \ldots =(n+1)\cdot x^{(n+1)-1}\).
Bei \(x^{n+1}=x^n\cdot x\) benutzt man einfach das Potenzgesetz \(a^{n+m}=a^n\cdot a^m\), wobei man bei \(x=x^1\) die 1 in der Potenz auch weglassen kann.
Du benutzt dann die Produktregel, weil ein Produkt von zwei Funktionen ableiten willst. Also \(\Big{(} g(x)\cdot h(x)\Big{)}'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\) mit \(g(x)=x^n\) und \(h(x)=x\). In dem Schritt aus der Induktionsvoraussetzung IV setzt du deine Formel für \((x^n)'\) ein. Es ist weiterhin \(h(x)=(x)'=1\). Dann nur noch zusammenfassen. Wird es jetzt klarer?
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maqu
07.02.2021 um 23:41