Vollständige Induktion für Gleichung

Aufrufe: 67     Aktiv: 07.02.2021 um 23:41

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Hallo, 

ich benötige Hilfe für folgende Gleichung. Mir fehlt noch das allgemeine Verständnis bei dem Induktionsschritt. Ich würde mich sehr über einen vollständigen Induktionsbeweis freuen.

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Die Gleichung stimmt nur für \(n=0\). Bitte die Aufgabe komplett posten. Was genau soll gezeigt werden?   ─   cauchy 04.02.2021 um 00:27

Sorry, hatte wohl einen Dreher in der Funktion. Die Funktion ist aktualisiert.   ─   akiv 04.02.2021 um 00:33

Jetzt macht die Gleichung für kein \(n\) mehr Sinn! Das sieht nach der Ableitungsregel aus. Poste sonst die Aufgabe doch mal im originalen Wortlaut oder als Bild.   ─   maqu 04.02.2021 um 00:40

Auch da macht vollst. Induktion nicht wirklich Sinn. Es sei denn man kennt bereits die Produktregel.   ─   cauchy 04.02.2021 um 00:43

Habe die Funktion im Original nochmal gepostet.   ─   akiv 04.02.2021 um 00:53

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2 Antworten
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Wenn es nur um den Induktionsschritt geht: 

Zerlege \(x^{n+1}=x^n\cdot x\) und wende beim Ableiten die Produktregel an mit \(u=x^n\) und \(v=x\).
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Da war schon wieder jemand schneller als ich auf dem Handy 🤪   ─   maqu 04.02.2021 um 01:05

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Jetzt macht es mehr Sinn. Du verwendest die Produktregel beim Ableiten um die Induktionsvoraussetzung einzusetzen:
\(\left(x^{n+1}\right)' =\left(x^n\cdot x\right)'=\left(x^n\right)' \cdot x + x^n \cdot \left(x\right)' \overset{IV}{=} \ldots =(n+1)\cdot x^{(n+1)-1}\).

Hoffe das hilft weiter.
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Hallo, vielen Dank für die Rückmeldung. Ich verstehe noch nicht ganz, wie man auf die Produktregel kommt und diesen Part verstehe ich nicht:

\( (x^{n+1})' = (x^n * x)' \)
  ─   akiv 07.02.2021 um 23:34

Bei \(x^{n+1}=x^n\cdot x\) benutzt man einfach das Potenzgesetz \(a^{n+m}=a^n\cdot a^m\), wobei man bei \(x=x^1\) die 1 in der Potenz auch weglassen kann.

Du benutzt dann die Produktregel, weil ein Produkt von zwei Funktionen ableiten willst. Also \(\Big{(} g(x)\cdot h(x)\Big{)}'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\) mit \(g(x)=x^n\) und \(h(x)=x\). In dem Schritt aus der Induktionsvoraussetzung IV setzt du deine Formel für \((x^n)'\) ein. Es ist weiterhin \(h(x)=(x)'=1\). Dann nur noch zusammenfassen. Wird es jetzt klarer?
  ─   maqu 07.02.2021 um 23:41

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