Das zweite Beispiel ist einfacher, deshalb fange ich mal damit an. Im ersten Schritt wird einfach $x^x=(e^{\ln x})^x=e^{x\ln x}$ umgeformt, das hat noch nichts mit Stetigkeit zu tun. Nun aber weißt du wahrscheinlich, dass $x\mapsto e^x$ stetig ist, d.h. $\lim_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\to x_0}f(x)}$, d.h. du kannst den Limes in die $e$-Funktion "hineinziehen". Das ist das, was du in Worten beschrieben hast. Damit folgt der nächste Umformungsschritt. Dann muss man nur noch $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ berechnen, was hier nicht gemacht wird. Vielleicht kennst du diesen Limes ja auch schon, ansonsten geht das z.B. leicht mit der Regel von L'Hopital.

Das erste Beispiel ist komplizierter. Als erstes wird $e^x$ durch seine Potenzreihe ersetzt, wobei sich das konstante Glied mit dem $-1$ im Zähler weghebt und du dann den Nenner wegkürzen kannst. Jetzt steht da der Limes einer unendlichen Reihe und wir wollen argumentieren, dass wir den Limes in die Summe hineinziehen können. Es gibt einen Satz, dass Potenzreihen in ihrem Konvergenzradius eine stetige (sogar differenzierbare) Funktion definieren, nach der gleichen Logik wie oben ist es also ok, den Limes hineinzuziehen, solange der Konvergenzradius der Potenzreihe positiv ist (das ist aber gegeben, er ist sogar $\infty$). Wenn wir also den Limes in die Summe gezogen haben, können wir gefahrlos einfach jedes $x$ durch $0$ ersetzen, und damit verschwindet jeder Summand außer der für $n=0$, der $1$ liefert.