Verständnisfrage Stetigkeit

Aufrufe: 41     Aktiv: 28.06.2021 um 17:10

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Ich finde zwei Beispiele, bei denen mit der Stetigkeit verschiedene Dinge gemacht werden, aber es ist mir nicht ganz klar, wieso die gelten:

1. Beispiel:
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x\to 0}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(n+1)!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{0^n}{(n+1)!}=1$$

2. Beispiel:
$$\lim_{x\to 0+}x^x=\lim_{x\to 0+} e^{x\ln(x)} = e^{\lim_{x\to 0+}x\ln(x)}=e^0=1$$

Stetigkeit bedeutet doch, dass Funktionsauswertung und Grenzwert austauschbar sind. Also ob ich auf der x-Achse gegen einen Punkt \( x_0 \) laufe und dann die Funktion auswerte oder erst die Funktion auswerte und dann auf dem Graphen Richtung dem Funktionswert von \(x_0 \) laufe, spielt keine Rolle.
Beide Beispiele aber sind mit der Stetigkeit erklärt worden, doch ich sehe nicht, wieso das geht.
Kann mir das jemand erklären?
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Das zweite Beispiel ist einfacher, deshalb fange ich mal damit an. Im ersten Schritt wird einfach $x^x=(e^{\ln x})^x=e^{x\ln x}$ umgeformt, das hat noch nichts mit Stetigkeit zu tun. Nun aber weißt du wahrscheinlich, dass $x\mapsto e^x$ stetig ist, d.h. $\lim_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\to x_0}f(x)}$, d.h. du kannst den Limes in die $e$-Funktion "hineinziehen". Das ist das, was du in Worten beschrieben hast. Damit folgt der nächste Umformungsschritt. Dann muss man nur noch $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ berechnen, was hier nicht gemacht wird. Vielleicht kennst du diesen Limes ja auch schon, ansonsten geht das z.B. leicht mit der Regel von L'Hopital.

Das erste Beispiel ist komplizierter. Als erstes wird $e^x$ durch seine Potenzreihe ersetzt, wobei sich das konstante Glied mit dem $-1$ im Zähler weghebt und du dann den Nenner wegkürzen kannst. Jetzt steht da der Limes einer unendlichen Reihe und wir wollen argumentieren, dass wir den Limes in die Summe hineinziehen können. Es gibt einen Satz, dass Potenzreihen in ihrem Konvergenzradius eine stetige (sogar differenzierbare) Funktion definieren, nach der gleichen Logik wie oben ist es also ok, den Limes hineinzuziehen, solange der Konvergenzradius der Potenzreihe positiv ist (das ist aber gegeben, er ist sogar $\infty$). Wenn wir also den Limes in die Summe gezogen haben, können wir gefahrlos einfach jedes $x$ durch $0$ ersetzen, und damit verschwindet jeder Summand außer der für $n=0$, der $1$ liefert.
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Genial. Wie man bei beiden Beispiel dorthin kommt, ist mir klar, es ging wirklich nur um die Stetigkeit. Anhand deiner Erklärung ist mir auch klar geworden, dass eigentlich bei beiden Beispiel genau das Gleiche geschieht: der Limes wird "hineingezogen", nur beim 1. Beispiel spart man sich diesen einen Umformungsschritt.
Ich habe den Satz, dass PR in ihrem KR sogar differenzierbar sind, zwar auswendig gelernt, doch war mir seine Tragweite nie bewusst. Das war wohl ein grober Fehler, wie mir deine tolle Erklärung nochmal vor Augen geführt hat.
Danke für die tolle Antwort und noch einen schönen Abend.
  ─   akimboslice 28.06.2021 um 17:10

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