Pflasterungen in Geometrie

Aufrufe: 255     Aktiv: 13.07.2023 um 11:20

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Hallo mal wieder :)
Ich habe letzte Woche oder so mal eine Frage zu Pflasterungen gestellt. Ganz verstanden habe ich das zwar noch immer nicht, aber ich verstehe es schon besser als damals noch... 
In meinem Skript gibt es 'Fingerübungen', die sehr leicht gehen sollen und einem so schon etwas mehr Verständnis bringen soll. 
Zu Pflasterungen gibt es diese Fingerübung:
Handelt es sich um Pflasterungen im Sinne von Definition 3.5.1? Wenn ja: Was sind die Protokacheln? Wenn nein: Warum?
1. geflieste Badezimmerwand
2. Parkettboden
3. Pflaster-Gehweg
4. Tetris-Spielsituation
5. Fachwerkhaus
6. Klinkerbau
(Die Definition von Pflasterungen habe ich in der Frage zu Pflasterungen allgemein schonmal gepostet, da kann man nochmal nachschauen.)
Also zuerst mal finde ich diese Aufgabe eh ein bisschen komisch, da die genannten Objekte ja in den verschiedensten Ausführungen existieren und es somit sein kann, dass eine Badezimmerwand tatsächlich eine Pflasterung ist, aber eine andere nicht... 
Naja, aber mal abgesehen davon (für die jeweiligen Objekte nehme ich jetzt einfach das erste Bild, das auftaucht, wenn man den Begriff in Google eingibt), finde ich es trotzdem schwer zu sagen, was davon Pflasterungen sind, weil ich auch nicht ganz verstehe, was dann hier K ist und was P (siehe Definition).
Meine Ideen:
1. Es ist eine Pflasterung und die Protokachel ist ein Rechteck. Das heißt in K ist nur ein Rechteck und in P auch, und dieses Rechteck wiederholt sich eben auf der Badezimmerwand und damit sind die Polygone ja kongruent, wenn es dieselben sind (Bedingung 1 erfüllt). Außerdem überschneiden die Fließen sich ja normalerweise nicht (Bedingung 2 erfüllt) und man kann, wenn man will, die gesamte Wand im Bad fließen (also Bedingung 3 auch erfüllt).
2. Ist auch eine Pflasterung für mich, weil es eigentlich genau dasselbe ist wie eine gefließte Badezimmerwand, also selbe Argumente: Protokacheln sind Rechtecke und die überschneiden sich nicht und können die gesamte Fläche ausfüllen.
3. Das finde ich ganz komisch, weil es wahrscheinlich tausend Wege gibt, einen Weg zu pflastern, aber zumindestens Bedinung 2 und 3 sind hier auch sicher erfüllt, denn die Steine auf dem Weg überschneiden sich ja nie eigentlich und man kann einen ebenen Weg komplett pflastern. Hier frage ich mich aber auch wieder, was in der Menge K drin ist, und was in der Menge P.
4. Hier würde ich sagen, dass es keine Pflasterung ist, weil es ja fast unmöglich ist bei Tetris die Steine so zu legen, dass keine 'Löcher' entstehen, das würde ja Bedingung 3 schon verletzen. Sollte man das aber schaffen, dann könnte es vielleicht eine Pflasterung sein, denn dann sind Bedinung 1, 2 und 3 ja eigentlich erfüllt. Wäre dann hier K die Menge aller Tetris-Spielsteine, die es gibt, und P die Menge der Spielsteine, die man in dem jeweiligen Spiel bekommt? 
5. Hier habe ich irgendwie gar keinen Plan, ob das eine Pflasterung ist oder nicht.
6. Ist für mich dasselbe wie die gefließte Badezimmerwand oder nicht? Also meine Argumente hier wären dieselben wie bei 1., aber da bin ich mir ja auch nicht sehr sicher.
So, das wären mal meine Ideen und Ansätze. Ich finde das Thema sehr schwierig und beschäftige mich schon recht lang damit, aber steige nicht so wirklich durch. Es wäre nett, wenn mir da jemand bisschen weiterhelfen kann und bitte nicht solche Antworten, dass ich einfach mal ins Skript schauen soll (das tue ich jeden Tag und leider verstehe ich trotzdem nicht so viel, deshalb suche ich ja hier nach jemandem, der mir mal einen anderen Ansatz oder Tipps geben kann).
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1 Antwort
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Deine Bedenken bez. dieser Übungen teile ich. Man sollte das nicht als Aufgabe mit Lösung sehen, sondern als Anregung zum Nachdenken über die Begriffe, wobei man dann merkt was man verstanden hat und was nicht.
Nur zu 1.: Da wird klar, du hast den Unterschied von K und P noch nicht verstanden. Mit K=P ist eben Bedingung 3 nicht erfüllt (überleg mal, wieviele Mengen dort vereinigt werden. Lies auch nochmal die Def. von Polygon nach).
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Aber warum ist Bedingung 3 dann nicht erfüllt? In einer regulären Pflasterung von (R^2, d2) zum Beispiel (das können ja nur entweder so Bienenwaben, Dreiecke oder Quadrate sein) gibt es ja auch nur ein Polygon in P und dessen Vereinigung mit sich selbst (unendlich oft dann eben) ist ja auch R^2 (sonst wäre es ja keine Pflasterung, aber das ist es ja eben schon)... Was ist dann da K? Welche anderen Polygone sollen dann in K sein außer Bienenwabe, Dreieck oder Quadrat?   ─   emiliahlg 12.07.2023 um 14:32

Lies den Tipp genau. Wie soll ein einziges Polygon den ganzen R^2 überdecken?   ─   mikn 12.07.2023 um 14:37

Ja, ein einziges Polygon natürlich nicht, aber ein und dasselbe mehrmals doch schon. Ich versteh es nicht... wenn es nicht sein kann, dass eine Pflasterung aus nur einem Polygon besteht, dann wären ja die regulären Pflasterungen von R^2 eigentlich keine Pflasterungen, aber das sind sie ja ganz sicher. Weil die bestehen ja nur aus einem, zwar das eine unendlich oft, aber im Prinzip ist ein immer wieder dasselbe.   ─   emiliahlg 12.07.2023 um 14:48

Nein, es ist eben nicht immer dasselbe. Zum dritten Mal (die Antwort auf deine vorherige Frage mitgezählt: zum vierten Mal) lies und verstehe die Def von Polygon weiter vorne im Skript.   ─   mikn 12.07.2023 um 14:52

Also weil es verschiedene Abbildungen sind, sind es nicht dieselben Polygone, sondern verschiedene, die zueinander aber kongruent sind? Dann verstehe ich aber trotzdem nicht, wie K und P zusammenhängen. Dann müssten ja in K auch unendlich viele Polygone sein, aber das sind es nicht, weil K ja eine endliche Menge von Polygonen ist. Wie kann ich dann eine Menge P mit unendlich vielen Polygonen haben, aber die sollen aus der Menge K sein, die aber eine endliche Anzahl an Polygonen enthält.   ─   emiliahlg 12.07.2023 um 15:27

Ja, verschieden, aber kongruent. Warum sollten in K unendlich viele sein? Lies genau, nicht nur intuitiv: jedes Element aus P ist kongruent zu einem aus K. Warum heißen die Elemente in K wohl Proto...? Und nochmal: kongruent ist was anderes als identisch.   ─   mikn 12.07.2023 um 15:53

Ja, also in K sind endlich viele Polygone Q und in P sind dann eben Polygone q, die zu einem Polygon Q aus K kongruent sind, d.h. es gibt eine Isometrie f zwischen K und P, sodass f(Q)=q ist? Das wäre dann die Definition von Kongruenz angewandt auf die erste Bedingung der Pflasterung.   ─   emiliahlg 13.07.2023 um 10:09

Für Kongruenz kommt man mit der anschaulichen, aus der Schule bekannten, Def. durch, die auch im Skript als anschauliche Erklärung steht. Heißt einfach "deckungsgleich". Da geht's auch ohne formale Def., ohne Isometrien. Pflasterung ist ein so anschaulicher Begriff, es gibt auch Bilder dazu im Skript.   ─   mikn 13.07.2023 um 11:20

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